Kvantni lc krug

Predložak:Nedostaju izvori Predložak:Wikipedizirati $LC$ krug se može kvantizirati primjenom metoda za kvantizaciju harmonijskog oscilatora, jer je $LC$ krug električni analog običnom harmonijskom oscilatoru. Zapravo, klasični $LC$ krug je vrsta rezonantnog kruga, a sastoji se od zavojnice (oznaka $L$), i kondenzatora (oznaka $C$). Kada ih međusobno spojimo, električna struja u krugu oscilira na rezonantnoj frekvenciji:

$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$

gdje je $L$ induktivitet zavojnice u henrijima, a $C$ kapacitet kondenzatora u faradejima. Kružna frekvencija ima jedinice radijan u sekundi: rad/s ili samo 1/s. Kondenzator pohranjuje energiju u svojem električnom polju (npr. za pločasti kondenzator je to električno polje između ploča) koje ovisi o naponu $V$, što se zapisuje:

$E_C=\frac{1}{2}C{V}^2=\frac{Q^2}{2C}$

gdje je $Q$ ukupni naboj na kondenzatoru, a računa se

$Q(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}I(\tau )d\tau$.

Zavojnica pohranjuje energiju u svojem magnetskom polju koje ovisi o jakosti struje $I$, što zapisujemo:

$E_L=\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{{\varphi }^2}{2L}$

gdje je $\varphi$ magnetski tok (magnetski fluks) definiran kao:

$\varphi (t)\equiv \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}V(\tau )d\tau$.

Pošto su naboj i magnetski tok kanonski konjugirane varijable, korištenjem kanonske kvantizacije možemo klasični hamiltonijan zapisati u kvantnom formalizmu, zamjenom s pripadajućim operatorima:

$\begin{array}{c}\varphi \to \hat{\varphi }\\ [2mm]q\to \hat{q}\\ [3mm]H\to \hat{H}=\frac{{\hat{\varphi }}^2}{2L}+\frac{{\hat{q}}^2}{2C}\end{array}$

te nametanjem kanonski komutacijskih relacija:

$[\hat{\varphi },\hat{q}]=i\hslash$.