Koalgebra

$k$-koalgebra (sinonim: kogebra) je par $(C,\mathrm{\Delta })$ u kojem je $C$ vektorski prostor nad poljem $k$ i $\mathrm{\Delta }:C\to C{\otimes }_{k}C$ kounitalno koasocijativno preslikavanje kojeg zovemo komnoženje. Koasocijativnost znači da $(\mathrm{\Delta }{\otimes }_{k}i{d}_C)\circ \mathrm{\Delta }=(i{d}_C{\otimes }_k\mathrm{\Delta })\circ \mathrm{\Delta }$, a kounitalnost znači da postoji (pri tom nužno jedinstveno) $k$-linearno preslikavanje $ϵ:C\to k$, koje zovemo kojedinicom koalgebre $(C,\mathrm{\Delta })$, i koje zadovoljava uvjet $(ϵ{\otimes }_{k}i{d}_C)\circ \mathrm{\Delta }\cong i{d}_C\cong (i{d}_C{\otimes }_kϵ)\circ \mathrm{\Delta }$. U posljednjem identitetu $\cong$ označava jednakost preslikavanja do na identifikacije $k\otimes C\cong C\cong C{\otimes }_{k}k$. Mnogi autori uvode koalgebru kao trojku $(C,\mathrm{\Delta },ϵ)$, no u tome nema bitne razlike, s obzirom na to da je kojedinica (ako postoji) jedinstveno određena komnoženjem.

Pojam koalgebre se često gleda u većoj općenitosti u kojoj je $k$ komutativni prsten s jedinicom, a $C$ je $k$-modul. Još općenitije, kategorija vektorskih prostora može se zamijeniti ma kojom monoidalnom kategorijom $(A,\otimes ,1)$. U toj općenitosti, umjesto riječi koalgebra u monoidalnoj kategoriji $(A,\otimes ,1)$ često se rabi termin (unutarnji) komonoid u $(A,\otimes ,1)$. Taj pojam je dvojstven (u smislu dvojstvenosti u teoriji kategorija) pojmu (unutarnjeg) monoida.

Koalgebre su se najprije pojavile u algebarskoj topologiji, u radovima Heinza Hopfa i Normana Steenroda i u prvom sustavnom radu o Hopfovim algebrama Milnora i Moorea. U tim radovima, promatrane su koalgebre u kategorijama graduiranih vektorskih prostora.

Vanjske poveznice

• https://ncatlab.org/nlab/show/coalgebra