Kategorija kriški

U teoriji kategorija u matematici kategorija kriški jest posebna konstrukcija nove kategorije iz stare kategorije i odabranog objekta u njoj. Njeni objekti su morfizmi čija je kodomena taj odabrani objekt.

Neka je $𝒞$ kategorija i $X$ odabrani objekt iz $𝒞$. Kriška nad $X$ (sinonimi: kategorija objekata nad $X$, kategorija kriški nad $X$ ili kategorija morfizama s kodomenom $X$, engleski slice category ili overcategory) $𝒞/X$ je kategorija čiji objekti su parovi $(A,f)$ gdje je $f:A\to X$ morfizam u $𝒞$. Morfizam $u:(A,f)\to (A^{\prime },f^{\prime })$ u $𝒞/X$ je morfizam $u:A\to A^{\prime }$ u kategoriji $𝒞$ takav da sljedeći dijagram komutira

$\begin{array}{ccc}A& \stackrel{g}{\to }& A^{\prime }\\ f\downarrow & & \downarrow f^{\prime }\\ X& =& X\end{array}$

Dvojstveni koncept kategorije kokriški (sinonim: kokriška ili kategorija objekata (is)pod

$X$

) (engl. coslice category ili undercategory)

$X/𝒞$

čiji objekti su parovi

$(B,g)$

, gdje je

$g:X\to B$

morfizam u

$𝒞$

. Morfizmi u

$X/𝒞$

su određeni morfizmima

$v:B\to B^{\prime }$

u

$𝒞$

za koje sljedeći dijagram komutira

$\begin{array}{ccc}X& =& X\\ g\downarrow & & \downarrow g^{\prime }\\ B& \stackrel{v}{\to }& B^{\prime }\end{array}$

Podobjekt objekta $X$ u $𝒞$ je klasa monomorfizama u $𝒞$ s kodomenom $X$ koji su međusobno izomorfni kao objekti kriške $𝒞/X$. Drugim riječima, morfizmi $f:A\to X$ i $f^{\prime }:A^{\prime }\to X$ predstavnici su istog podobjekta od $X$ ako postoji invertibilni morfizam $u:A^{\prime }\to A$ takav da $f\circ u=f^{\prime }$. Kvocijentni objekt objekta $X$ u $𝒞$ je klasa epimorfizama u $𝒞$ s kodomenom $X$ koji su međusobno izomorfni kao objekti kategorije $X/𝒞$ objekata ispod $X$.