Jednadžba s apsolutnom vrijednosti

U postupku rješavanja jednadžbe traži se vrijednost nepoznate veličine koja udovoljava uvjetima koje postavlja jednadžba. Ako se nepoznata veličina nalazi pod znakom apsolutne vrijednosti, tada će to u rješavanje jednadžbe unijeti neke nove odnose.

Apsolutna vrijednost broja i nepoznate veličine

Apsolutna vrijednost realnog broja a je izraz |a| koji određuje veličinu broja bez obzira na pozitivan ili negativan predznak. Za svaki realni broj a apsolutna vrijednost broja ili modul od a je definiran kao

$|a|=\{\begin{array}{cc}a,& \text{ako }a\ge 0\\ -a,& \text{ako }a<0.\end{array}$ .

Na isti način apsolutna vrijednost realne nepoznate veličine x je izraz |x| gdje je apsolutna vrijednost nepoznate veličine definirana kao

$|x|=\{\begin{array}{cc}x,& \text{ako }x\ge 0\\ -x,& \text{ako }x<0.\end{array}$ .

Jednadžba s jednim izrazom apsolutne vrijednosti

Jednostavna jednadžba

Jednadžba je zadata na način da se nepoznata veličina x nalazi pod znakom apsolutne vrijednosti:

$|x|-2=0$

Iz jednadžbe slijedi da je:

$|x|=2$

te slijede i rješenja jednadžbe:

$x_1=2,x_2=-2$,

gdje oba rješenja udovoljavaju uvjetu jednadžbe.

Složenija jednadžba

Jednadžba može biti i zadata u nešto složenijem obliku:

$|2x+4|-6=0$

odakle najprije slijedi da je:

$|2x+4|=6$

Temeljem definicije apsolutne vrijednosti nepoznate veličine postoje dvije mogućnosti

$a)$ $2x+4=6$

odakle slijedi da je:

$x_1=1$

te

$b)$ $-(2x+4)=6$

odakle slijedi redom:

$-2x-4=6$

$-2x=10$

te je drugo rješenje jednadžbe:

$x_2=-5$

Jednadžba s dva izraza apsolutne vrijednosti

Jednadžbe gdje se nepoznata veličina nalazi pod dva znaka apsolutnih vrijednosti, imat će općenito veći broj rješenja od kojih, obzirom na prirodu apsolutne vrijednosti broja, neka možda i neće zadovoljavati početnu jednadžbu.

Neka je jednadžba zadana u obliku:

$||x+2|-4|=6$

Temeljem definicije apsolutne vrijednosti nepoznate veličine postoje dvije mogućnosti:

$a)$$+(|x+2|-4)=6$

$b)$ $-(|x+2|-4)=6$

Iz jednadžbe $a)$ slijede daljnje dvije mogućnosti:

$a_1)$ $x+2-4=6$

$a_2)$ $-x-2-4=6$.

Iz jednadžbe $a_1)$ slijedi prvo rješenje:

$x_1=8$,

a iz jednadžbe $a_2)$ slijedi drugo rješenje:

$x_2=-12$.

Iz jednadžbe $b)$ slijede druge dvije mogućnosti:

$b_1)$ $-(x+2-4)=6$

$-x-2+4=6$

$-x=4$

$x_3=-4$

i

$b_2)$ $-(-(x+2)-4)=6$

$-(-x-2-4)=6$

$x+2+4=6$

$x+2+4=6$

$x_4=0$

Prvo i drugo rješenje očito zadovoljava početnu jednadžbu, dok treće i četvrto rješenje ne zadovljava.

Literatura

• Kurnik M., Pavković B., Zorić Ž., "Matematika 1", Školska knjiga, Zagreb, 2006.