Fermatov zadatak

Fermatov zadatak je jedan od povijesno prvih problema u diferencijalnom računu, a datira između 1630. i 1640. godine. Zanimljivo je da je to prvi zabilježeni Fermatov problem pronalaženja ekstrema, u ovom slučaju maksimuma funkcije.

Fermatovo rješenje pokazuje da nije imao formalno znanje limesa te se u tom računu, unatoč lukavom triku, može naći logička greška koja je ispravljena pojavom modernog infinitezimalnog računa.

Problem nalaže da dužinu $AC$ treba podijeliti točkom $B$ na dva dijela tako da vrijednost umnoška $|AB|\cdot |BC|$ bude maksimalna.

Rješenje

Neka je $|AB|=x,|AC|=a.$ Dakle, zapravo treba naći maksimum funkcije $f(x)=x(a-x),$ tj. $f(x)=-x^2+ax.$

Argument za koji se maksimum od $f$ postiže ćemo naći tako da izračunamo prvu derivaciju i izjednačimo je s nulom. Dobivamo $f^{\prime }(x)=-2x+a.$ Sada izjednačimo $f^{\prime }(x)=0$ i dobivamo $x=\frac{a}{2}.$

Prema tome, točka $B$ zapravo je polovište dužine $AC.$

Isti smo rezultat još lakše mogli dobiti stavljajući $a=1$ ili pak računajući vrijednost argumenta kvadratne funkcije za koji se postiže njen maksimum bez derivacija, dakle Viétovim formulama. Taj argument jednak je apscisi tjemena parabole.

Fermatova metoda

Fermat je postupio na sljedeći način. Uveo je veličinu $E\ge 0$ i spretno zaključio da će, zbog toga što postoji točno jedna vrijednost maksimuma, njegove vrijednosti za $x,x+E$ biti jednake pa je načinio sljedeću jednadžbu $x(a-x)=(x+E)(a-x-E)$ te dobio $E^2+Ea-2xE=0,$ tj. $E(E+a-2x)=0.$ Sada je obje strane jednadžbe podijelio s $E$ i dobio $E+a=2x.$ Odavde je zaključio da mora biti $E=0$ i dobio ispravno rješenje $x=\frac{a}{2}.$

No, počinio je grešku u računu, a to je što je stavio $E=0$, a u koraku prije je jednadžbu podijelio s $E$, iako je poznato da se nulom ne smije dijeliti. Račun bi bio ispravan da je Fermat pisao da E teži u nulu umjesto da je E jednak nuli, odnosno $E\to 0$ umjesto $E=0.$