Fermatov teorem o stacionarnim točkama

Fermatov teorem o stacionarnim točkama je jedan od temeljnih teorema diferencijalnog računa, a često se koristi pri nalaženju ekstrema funkcije.

Njegov iskaz kaže da ako realna funkcija $f$ poprima u $x_0$ lokalni ekstrem i ako $f$ ima derivaciju u toj točki, tada je $f^{\prime }(x_0)=0.$

Teorem je dobio ime po proslavljenom francuskom matematičaru, Pierru de Fermatu koji se među prvima bavio proučavanjem ekstrema realnih funkcija.

Intuitvno govoreći, teorem daje nužan uvjet da bi neka vrijednost bila lokalni ekstrem.

Naime, ako je $f(x_0)$ lokalni ekstrem, očito je da onda lokalno lijevo od $x_0$ funkcija $f$ treba prvo rasti pa lokalno desno od $x_0$ padati (ako je $f(x_0)$ lokalni maksimum) ili obrnuto, prvo padati pa rasti (ako je $f(x_0)$ lokalni minimum). Kada ovome ne bi bilo tako, onda $f(x_0)$ ne bi bio lokalni ekstrem.

No, teorem kaže da između padanja i rasta (i obrnuto), funkcija treba stagnirati, kako bi njen daljnji tijek bio moguć.

Dokaz

Prema pretpostavci, funkcija $f$ ima derivaciju u točki $x_0$ pa postoji $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{h}$ gdje smo za $x\ne x_0$ označili $\mathrm{\Delta }x=x-x_0.$

Pretpostavimo sada da $f$ ima maksimum u $x_0.$ Dakle, onda lijevo od točke $x_0$ vrijedi $f(x)<f(x_0)$ za $x<x_0.$

Prema tome, vrijedi $\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0.$

Kada $x\to x_0$ slijeva, ovaj kvocijent teži k derivaciji u točki $x_0$ pa je $f^{\prime }(x_0)\ge 0.$

Desno od točke $x_0$ vrijedi $f(x)<f(x_0),x>x_0$ pa je $\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}<0.$

Kada $x\to x_0$ slično dobivamo $f^{\prime }(x_0)\le 0.$

Zato mora biti $f^{\prime }(x_0)=0,$ što je i trebalo dokazati.