Elipsa

Elipsa:
a = velika poluos
b = mala poluos

Elipsa je zatvorena krivulja u ravnini, jedna od čunosječnica. Najčešće se definira kao skup točaka za koje se zbroj udaljenosti do dviju čvrstih točaka ne mijenja.

Uz zadane dvije točke u ravnini, F₁ i F₂, i duljinu 2a na kojoj su simetrično odabrane točke F₁ i F₂ uz uvjet $2a>d({\mathrm{F}}_1,{\mathrm{F}}_2)$, tada elipsom s fokusima (žarištima) u točkama F₁ i F₂ i velikom osi 2a nazivamo skup točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti do fokusa F₁ i F₂ jednak 2a.

Elipsa je određena dvjema poluosima: velikom (oznaka: a) i malom (oznaka: b). Oblik elipse definira se njenim ekscentricitetom ili eliptičnošću e.

Parametri

Smjestimo li središte elipse u središte koordinatnog sustava, tada udaljenost |OF₁| = |OF₂| nazivamo linearnim ekscentricitetom elipse e. Numerički ekscentricitet elipse određen je kao

$\epsilon =\frac{e}{a}<1$

Elipsa je određena velikom poluosi i ekscentritetom, ili velikom i malom poluosi gdje vrijedi

$e=\sqrt{a^2-b^2}$

i

$b=\sqrt{a^2-e^2}$

Jednadžba elipse

Jednadžba elipse sa središtem u S(0, 0)

Elipsa sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava i poluosima a i b određena je tzv. kanonskom jednadžbom

$b^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2$

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Jednadžba elipse sa središtem u S(p, q)

Elipsa sa središtem točki S određenoj koordinatama S(p, q) i poluosima a i b određena je jednadžbom

$b^2(x-p{)}^2+a^2(y-q{)}^2=a^2{b}^2$

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

$\frac{(x-p{)}^2}{a^2}+\frac{(y-q{)}^2}{b^2}=1$

Tangenta elipse

Tangenta elipse sa središtem u S(0, 0)

Tangenta elipse koja ima središte u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom $\mathrm{T}(x_0,y_0)$ na elipsi određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu elipse nalazimo da je

$2b^{2}xdx+2a^{2}ydx=0$

odakle slijedi da je

$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\mathrm{tg}\alpha =-\frac{b^2}{a^2}\frac{x_0}{y_0}$

gdje je α kut između tangente i apscise, te da je jednadžba tangente na elipsu

$y-y_0=-\frac{b^2}{a^2}\frac{x_0}{y_0}(x-x_0)$

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednadžba tangente elipse

$\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$

Tangenta elipse sa središtem u S(p, q)

Tangenta elipse koja ima središte u točki S(p, q) i koja prolazi točkom T $(x_0,y_0)$ na elipsi određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu elipse nalazimo da je

$2b^2(x-p)dx+2a^2(y-q)dy=0$

odakle slijedi da je je

$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\mathrm{tg}\alpha =-\frac{b^2}{a^2}\frac{x_0-p}{y_0-q}$

te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente elipse

$y-y_0=-\frac{b^2}{a^2}\frac{x_0-p}{y_0-q}(x-x_0)$

Vidi također

• Ekscentricitet
• Prvi Keplerov zakon