e (matematička konstanta)

Matematička konstanta $e$, još nazvan i Eulerov broj ili Napierova konstanta, je baza prirodnog logaritma i jedan je od najznačajnijih brojeva u suvremenoj matematici, pored neutralnih elemenata za zbrajanje i množenje, 0 i 1, imaginarne jedinice i i broja pi. Osim što je iracionalan (dakle, realan), ovaj broj je još i transcendentan. Do tridesetog decimalnog mjesta, ovaj broj iznosi:

$e$ ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 34678 2376732 6727 267 274728 3 39^˘654...

Konstanta $e$ se može definirati kao:

1. Limes niza brojeva

   $e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n$

2. Suma beskonačnog niza:

   $e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots$

   gdje je n!, n faktorijel .

3. Pozitivna vrijednost koja zadovoljava sljedeću jednadžbu :

   $\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{1}{x}dx=1$

   istovjetnost između ova tri slučaja dokazanа.

4. Ovaj broj se sreće i kao dio Eulerovog identitetа:

   $e^{\mathrm{i}\cdot \pi }=-1$

Veza s polinomima

• Ako je $P(x)$ polinom stupnja $n$, onda vrijedi $\int P(x)e^{x}dx=[P^{\prime }(x)-P^{″}(x)+...\pm P^{(n)}(x)]e^x.$ jer je $\frac{d}{dx}{P}^{(n+1)}(x)=0$.

Motivacija

Kod linearnih funkcija oblika $y=ax+b$ prirast vrijednosti funkcije po prirastu ulazne vrijednosti je konstantan i iznosi $a,$ tj. $\frac{dy}{dx}=a.$

Kod polinomnih funkcija, tj. funkcija oblika $y=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+1$ rast se mijenja, tj. postoji funkcija koja opisuje promjenu vrijednosti (ili nagiba tangente u svakoj točki krivulje) prvobitne funkcije. Ta nova funkcija naziva se derivacija.

Kod transcedentih (nealgebarskih - prelaze granice 4 osnovne računske operacije) funkcija nagib je osobito važan, rast je eksponencijalan. Primjerice, kod funkcije $f(x)=2^x$ lako se može računalnim programom ustvrditi da je graf njene derivacije vrlo sličan, ali uvijek (za sve elemente iz njene domene) nešto niži. Njena derivacija je približno jednaka $f^{\prime }(x)=0.693\cdot 2^x.$ Ipak, za (i jedino za) jediničan prirast ulazne vrijednosti rast izlazne je točno jednak $2^x.$ To se lako dokaže: $\frac{2^{x+1}-2^x}{1}=2^x⟺2^{x+1}=2\cdot 2^x=2^{x+1}$ (to je jedina funkcija za koju to vrijedi).

Sada se nameće pitanje: postoji li eksponencijalna funkcija $f(x)=a^x$ za koju vrijedi da za beskonačno mali prirast $dx$ je prirast $dy$ točno jednak $a^x.$ Odgovor na ovo pitanje nije teško naći. Neka je $dx=h\to 0.$

Pitamo se za koji $a$ je $\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x.$ Računamo: $a^{x+h}-a^x=h\cdot a^x⟺a^{x+h}=a^x(h+1),$ odakle je $a^h=h+1,$ pa dobivamo poznati limes $a=(1+h{)}^{\frac{1}{h}}.$ Dokazuje se da je taj limes (kada $h\to 0$) jednak $2.718281...$ i nazivamo ga Eulerovim brojem i označavamo s $e.$

Povezanost s kompleksnim brojevima

Gornji limes može se zapisati i kao $e=(1+\frac{1}{n}{)}^n),n\to \mathrm{\infty }.$ Poznato je da vrijedi $e^x=(1+\frac{x}{n}{)}^n,n\to \mathrm{\infty }.$

Definicija imaginarnog eksponenta. Neka je $x\in ℝ.$ Definiramo $e^{xi}=(1+\frac{xi}{n}{)}^n,\to \mathrm{\infty }.$ S drugačijim prikazom $e^x$ dobiva se poznata Eulerova formula $e^{xi}=\cos x+i\sin x.$ Ovdje ćemo na "originalnoj" definiji broja $e$ pikazati zašto formula vrijedi.

Množenje kompleksnih brojeva $(a,b)\cdot (c,d)$ svodi se na množenje njihovih modula i zbrajanja priklonih kutova pa ako stavimo $(u+vi{)}^n,u,v\in ℝ$ vidimo da dobivamo spiralu.

Objasnit ćemo Eulerov identitet, kada je $x=\pi .$ Vratimo se na limes $e^{\pi \cdot i}=(1+\frac{\pi }{n}i{)}^n.$ Očito se radi o kompleksnom broju $1+\frac{\pi }{n}i$ kojeg uzastopno množimo sa samim sobom, baš kao u prošlom primjeru. Kako $n\to \mathrm{\infty },$ vidimo da se naš broj vertikalnk približava apscisi. Ako primotrimo luk jedinične kružnice sa središtem u ishodištu omeđen apscisom i pravcem $y=\frac{\pi }{n}$ vidimo da je uvijek kraći od "visine" našeg kompleksnog broja. No, $n$ se povećava pa se razlika smanjuje, tj. prikloni kut postaje $\frac{\pi }{n}$ radijana te se magnituda približava broju $1.$ Dakle, $(1+\frac{\pi }{n}{)}^n,n\to \mathrm{\infty }$ svodi se na potenciranje magnitude (koja teži u $1$) i n-terostrukog zbrajanja kutova (koji približno iznose $\frac{\pi }{n}$ radijana) što nas po kružnoj putanji ($r\to 1$) dovodi u točku $(-1,0).$ To dokazuje, prema mnogima najljepšu "formulu" u matematici, $e^{\pi \cdot i}=-1.$