Baza (linearna algebra)

Baza nekog vektorskog prostora $V$ nad poljem $K$ je uređeni skup međusobno linearno nezavisnih i nenul vektora $e=\{e_1,e_2,...,e_n\},$ čijim se linearnim kombinacijama mogu jednoznačno predstaviti svi ostali vektori iz $V$. Neka je $a$ jedan takav vektor. Vrijedi:

$a={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\cdots +{\alpha }_n{e}_n,{\alpha }_i\in K$

Odavde slijedi da je ovakav skup također i minimalan, tj. da ne postoji neki drugi skup vektora $f=\{f_1,f_2,...,f_m\},$ takav da je $m<n$ koji bi također bio baza.

Ako bi pretpostavili da takav skup vektora $f$ postoji, tada bi se svaki od $m$ vektora $f_i$ mogao prikazati kao linearna kombinacija $n$ vektora iz skupa $e,$ odnosno

$f_i={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\cdots +{\alpha }_n{e}_n,i=1,...,m$

Rješavanjem tog sustava $m$ jednadžbi s $n$ nepoznanica, pri čemu je broj jednadžbi manji od broja nepoznanica, daje parametarska rješenja, što znači da se vektor $f_i$ ne može jednoznačno prikazati pomoću vektora iz skupa $e$. To je pak u kontradikciji s pretpostavkom da je skup $e$ baza, pa početna pretpostavka da postoji traženi skup $f$ nije točna.

Kako se u vektorskom prostoru dimenzije $n$ može predstaviti $n$ linearno nezavisnih vektora, njegovu bazu mora činiti najmanje $n$ vektora, što zajedno s gornjim zaključkom o minimalnosti baze daje da baza $n$-dimenzionog vektorskog prostora $V$ ima točno $n$ vektora.

Kanonska baza

Jedna od baza $n$-dimenzionog vektorskog prostora $V$ se može definirati na sljedeći način:

$e:=\{e_i=(\underset{i-1}{\underbrace{0,\dots ,0}},1,\underset{n-i}{\underbrace{0,\dots ,0}}),i=1,\dots ,n\}$

Ova se baza naziva kanonskom bazom tog prostora, a po definiciji je ortonormirana.

Vidjeti također

• Ortonormirana baza