Asocijativna algebra

Asocijativna algebra je jedna od najčešće korištenih algebarskih struktura u matematici.

Neka je $k$ komutativni prsten s jedinicom. Pod neasocijativnom $k$-algebrom podrazumijevamo par $(A,m)$ u kojem je $A$ modul nad $k$ i $m:A\times A\to A$ bilinearno preslikavanjem, kojeg zovemo množenjem algebre $(A,m)$. Ta algebra je asocijativna ako je $m$ asocijativna operacija u običnom smislu, odnosno $m(m(a,b),c)=m(a,m(b,c))$ vrijedi za sve $a,b,c\in A$. Neke druge važne klase neasocijativnih algebri su Liejeve algebre, Jordanove algebre, Leibnizove algebre. Asocijativna $k$-algebra je unitalna (ili: s jedinicom) ako postoji element $1_A\in A$ takav da je $m(1_A,a)=a=m(a,1_A)$. Tada je automatski $A$ prsten s jedinicom.

Ako su $M,N$ dva $k$-modula, tada ih možemo promatrati kao centralne bimodule, pa je njihov tenzorski umnožak $M{\otimes }_{k}N$ ponovno takav, dakle $k$-modul. Kategorija $k$-modula ima strukturu (simetrične) monoidalne kategorije s tim tenzorskim umnoškom kao monoidalnim i gdje je $k$ jedinični objekt. Poseban je slučaj tenzorskog umnoška kad je $A=M=N$. Tada je bilinearnost množenja $m:A\times A\to A$ ekvivalentna uvjetu da se taj umnožak faktorizira kroz tenzorski umnožak, tj. postoji morfizam $k$-modula $m^{\prime }:A{\otimes }_{k}A\to A$ takav da je $m=m^{\prime }\circ \pi$ gdje je $\pi :M\times N\to M{\otimes }_{k}N$ kanonska projekcija (koja je dio definicije tenzorskog umnoška). Slično u unitalnom slučaju, element $1_A$ definira preslikavanje $\eta :k\to A,\eta :\lambda \mapsto \lambda \cdot 1_A$. Nije teško vidjeti da je $(A,m,1_A)$ unitalna asocijativna algebra onda i samo onda ako je $(A,m^{\prime },\eta )$ monoid u monoidalnoj kategoriji $k$-modula. Drugim riječima, $m:A\otimes A\to A$ i $\eta :k\to A$ zadovoljavaju svojstva $m\circ (m{\otimes }_{k}i{d}_A)=m\circ (i{d}_A{\otimes }_{k}m)$ i $m\circ (\eta {\otimes }_{k}i{d}_A)\cong i{d}_A\cong m\circ (i{d}_A{\otimes }_k\eta )$ gdje $\cong$ označava primjenu kanonskih izomorfizama $k{\otimes }_{k}A\cong A\cong A{\otimes }_{k}k$ kao identifikacija.

Ako je $k$ komutativni prsten s jedinicom tada unitalnu asocijativnu $k$-algebrom možemo alternativno gledati i kao prsten $A$ s jedinicom zajedno s homomorfizmom prstena $k\to A$ čija slika je u centru algebre $A$.

Morfizam (ne)asocijativnih $k$-algebri $f:(A,m_A)\to (B,m_B)$ je morfizam $f:A\to B$ pripadnih $k$-modula koji zadovoljava jednakost $f{\otimes }_k{m}_A=m_B\circ (f{\otimes }_{k}f)$ i, u slučaju, unitalnih algebri $f\circ {\eta }_A={\eta }_B$.

Važan primjer asocijativne algebre je tenzorska algebra $T(V)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\oplus }}{V}^{{\otimes }_{k}n}$ gdje je $V^{{\otimes }_{k}n}=V{\otimes }_{k}V{\otimes }_k\dots {\otimes }_{k}V$($k$ puta) $k$-struki tenzorski umnožak $k$-modula $V$ sa samim sobom (u slučaju $n=0$ to je $k$), a umnožak je spajanje (konkatenacija) tenzorskih umnožaka, to jest jedinstveno bilinearno proširenje formule koja je na dekompozabilnim elementima dana sa $(v_1\otimes v_2\otimes \dots \otimes v_r,w_1\otimes w_2\otimes \dots \otimes w_s)\mapsto v_1\otimes v_2\otimes \dots \otimes v_r\otimes w_1\otimes w_2\otimes \dots \otimes w_s.$ Općenitije, ako je $A$ asocijativna algebra, možemo na sličan način uvesti i tenzorsku algebru $T({}_A{M}_A)$ ma kojeg $A$-bimodula ${}_A{M}_A$. U posebnom slučaju, kad je ${}_A{M}_A={}_A{A}_A$ ona je opremljena kanonskim morfizmom (zapravo ulaganjem) algebri $A\hookrightarrow T({}_A{A}_A)$.

• https://ncatlab.org/nlab/show/associative+unital+algebra