Abelov teorem

Abelov teorem je jedan od temeljnih teorema u matematičkoj analizi, posebice u proučavanju reda funkcija. Teorem je nazvan po norveškom matematičaru Nielsu Henriku Abelu. Iskaz teorema glasi:

Ako red potencija $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k$ konvergira u točki $x_0\ne 0$, tada taj red konvergira apsolutno i uniformno na svakom segmentu $[-a,a]\subset (-|x_0|,|x_0|)$.

Dokaz

Neka je $x\in [-a,a]$ proizvoljan. Red $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}ak{x_0}^k$ konvergira pa je niz $(a_k{x_0}^k$ nula niz (niz s limesom u nuli), a time je to i ograničen niz. Dakle, postoji konstanta $M>0$ takva da je $|a_k{x_0}^k|<M,k=0,1,2,...$ Odavde i iz $a_k{x}^k=a_k{x_0}^k(\frac{x}{x_0}{)}^k$ dobivamo $|a_k{x}^k|=|a_k{x_0}^k|\cdot |\frac{x}{x_0}{|}^k<M\cdot |\frac{x}{x_0}{|}^k\le M\cdot |\frac{a}{x_0}{|}^k.$(*)

Kako je $0<a<|x_0|$, lako zaključujemo da geometrijski red $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|\frac{a}{x_0}{|}^k$ konvergira, a zbog (*) slijedi apsolutna i uniformna konvergencija reda $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}^k{x}^k$ na segmentu $[-a,a]$.