Diofantska jednadžba

Diofantskom jednadžbom nazivamo općenito neodređenu polinomnu jednadžbu ili neodređenu jednadžbu nekog drugog oblika koja, međutim, nalazi rješenja u domeni cijelih pozitivnih brojeva odnosno prirodnih brojeva.

Linearna diofantska jednadžba

Linearna diofantska jednadžba ima općeniti oblik:

$ax+by=c$

gdje može postojati jedno, nekoliko ili neograničeno mnogo rješenja predstavljenih brojevima iz skupa prirodnih brojeva.

Primjer 1

Zadana je Diofantska jednadžba:

$11x+8y=104.$

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

$\begin{array}{cc}8y& =104-11x\\ y& =\frac{104-11x}{8}\\ y& =13-\frac{11x}{8}\end{array}$

Razlomak jedino može biti cijeli broj, a y prirodan za x = 8 te je time određeno i jedino rješenje postavljene jednadžbe: x = 8, y = 2.

Primjer 2

Zadana je diofantska jednadžba:

$3x+1=5y$

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

$\begin{array}{cc}3x& =5y-1\\ x& =\frac{5y-1}{3}\\ x& =y+\frac{2y-1}{3}\end{array}$

Veličine x i y bit će cijeli brojevi ako je i razlomak (2y-1)/3 cijeli broj što je ispunjeno za uređene parove brojeva (x, y): (3, 2), (8, 5), (13, 8), …. Broj uređenih parova brojeva koji udovoljavaju početnoj jednadžbi je beskonačan.

Nelinearna diofantska jednadžba

Nelinearnim diofantskim jednadžbama možemo u širem smislu smatrati jednadžbe gdje se nepoznate veličine javljaju kao potencije ili umnožak dviju ili više nepoznatih veličina.

Nelinearna diofantska jednadžba u jednostavnom obliku

Zadana je jednadžba:

$xy-2y=7x-5$

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

$\begin{array}{cc}y(x-2)& =7x-5\\ y& =\frac{7x-5}{x-2}\\ y& =\frac{7x-14+14-5}{x-2}\\ y& =7+\frac{9}{x-2}\end{array}$

Cjelobrojna rješenja jednadžbe postoje za uređene parove (3, 16), (5, 10) i (11, 8).

Pitagorine trojke

Pitagorinim trojkama nazivamo uređen skup cijelih brojeva (x, y, z) većih od nule koji zadovoljavaju jednadžbu:

$x^n+y^n=z^n.$

za n = 2. Radi se, očito, o cijelim brojevima koji zadovoljavaju Pitagorin poučak, dakle, o uređenim trojkama brojeva (3, 4, 5), (6, 8, 10), (12, 16, 20), itd. Broj rješenja za n = 2 je beskonačan. Za prirodne brojeve n > 2 jednadžba nema rješenja, što je ustvrdio francuski matematičar Pierre de Fermat u svojem slavnom posljednjem teoremu.

Pellova jednadžba

Jednadžbu oblika:

$x^2-n{y}^2=\pm 1$

nazivamo Pellova jednadžba. Jednadžbe ovog oblika razmatrali su još indijski i starogrčki matematičari. Za svaki prirodan broj n koji nije potpuni kvadrat mogu se naći prirodni brojevi x i y koji zadovoljavaju iskazanu jednadžbu. Za Pellovu jednadžbu:

$x^2-7y^2=1.$

najmanje rješenje je x = 8, y = 3, a postoji i beskonačan broj drugih rješenja: (127, 48), (2024, 765), (32257, 12192), (514088, 194307), (8193151, 3096720), (130576328, 49353213), itd.

Erdős–Strausova hipoteza

Hipotezom je pretpostavljeno da se za sve prirodne brojeve n ≥ 2 razlomak 4/n može iskazati kao zbroj tri jedinična razlomka s prirodnim brojevima za nazivnike:

$\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.$

Na primjer, za n = 1801, postoji rješenje jednadžbe gdje je x = 451, y = 295364 i z = 3249004. Pomnožimo li obje strane jednadžbe s nxyz, nalazimo diofantsku jednadžbu oblika:

$4xyz=n(xy+xz+yz).$