Iracionalna nejednadžba

Nejednadžba kod koje se nepoznata veličina nalazi pod znakom korijena zovu se iracionalne nejednadžba. Premda se u širem smislu pojma iracionalne nejednadžbe nepoznata veličina može nalaziti pod znakom bilo kojeg korijena, u pravilu se pod iracionalnom nejednadžbom podrazumijeva nejednadžba gdje se nepoznata veličina nalazi pod kvadratnim korijenom i gdje je rješavanje iracionalne nejednadžbe relativno jednostavno.

Područje definicije

Iracionalna nejednadžba je definirana za ono područje nepoznate veličine x u kojem je izraz ispod korijena općenito veći ili jednak nuli, gdje je, na primjer, za član:

$\sqrt{x+4}$ jednadžba definirana $\mathrm{\forall }$ x $\in$ $[-4,+\mathrm{\infty }⟩$

ili za član

$\sqrt{x^2-4}$ jednadžba definirana $\mathrm{\forall }$ x $\in$ $⟨-\mathrm{\infty },-2],[+2,+\mathrm{\infty }⟩$

Jednostavna iracionalna nejednadžba

Jednostavnijom iracionalnom nejednadžbom možemo smatrati iracionalnu nejednadžbu koja sadržava jedan član s nepoznatom veličinom ispod korijena kao na primjer:

$\sqrt{4x-8}-2>0.$

Sređivanjem i kvadriranjem obje strane jednadžbe nalazimo kako slijedi:

$\begin{array}{cc}\sqrt{4x-8}& >2{/}^{(2)}\\ 4x-8& >4\\ 4x& >12\\ x& >3\\ \end{array}$

gdje je rješenje iracionalne nejednadžbe svaki x iz intervala: $⟨+3,+\mathrm{\infty }⟩$.

Složenija iracionalna nejednadžba

Nešto složenijom iracionalnom nejednadžbom možemo smatrati iracionalnu nejednadžbu koja sadržava dva člana gdje se nepoznata veličina nalazi ispod korijena kao na primjer:

$\sqrt{4x-2}<\sqrt{2x+8}$

Kvadriranjem i sređivanjem iracionalne jednadžbe nalazimo, redom:

$\begin{array}{cc}4x-2& <2x+8\\ 2x& <10\\ x& <5\\ \end{array}$

Rješenje iracionalne nejednadžbe je, dakle, x<5 gdje valja ispuniti i uvjet da su izrazi pod korijenima veći od nule, što će s druge strane biti ispunjeno za x>-1/2, odnosno x>-4. Rješenje date nejednadžbe bit će svaki x iz intervala: $⟨-\frac{1}{2},+5⟩$.

Složena iracionalna nejednadžba

Složenom iracionalnom nejednadžbom možemo smatrati iracionalnu nejednadžbu koja sadržava tri ili više članova gdje se nepoznata veličina nalazi ispod korijena kao na primjer:

$\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}>\sqrt{3x+6}$

U traženju rješenja postupa se slično gornjem primjeru:

$\begin{array}{cc}\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}& >\sqrt{3x+6}{/}^{(2)}\\ 2-x+2\sqrt{2-x}\sqrt{2x+2}+2x+2& >3x+6\\ 2\sqrt{2-x}\sqrt{2x+2}& >2x+2/:(2)\\ \sqrt{2-x}\sqrt{2x+2}& >x+1{/}^{(2)}\\ (2-x)(2x+2)& >x^2+2x+1\\ 4x+4-2x^2-2x& >x^2+2x+1\\ -3x^2& >-3/:(-3)\\ x^2& <1\end{array}$

Rješenja nejednadžbe nalazit će se prema tome unutar intervala $⟨-1,+1⟩$ gdje vrijednosti nepoznate veličine udovoljavaju i uvjetu da su izrazi pod korijenima veći od nule.

Literatura

• Kurnik M., Pavković B., Zorić Ž., "Matematika 1", Školska knjiga, Zagreb, 2006.