Kvadratna nejednadžba

Pod kvadratnom nejednadžbom podrazumijevamo nejednadžbu u kojoj se nepoznata veličina pojavljuje pod znakom potencije 2.

Kvadratna nejednadžba

Kvadratna nejednadžba gdje je $b=0$

Kvadratnu nejednadžbu gdje je b = 0 možemo prikazati, na primjer, u obliku:

$a{x}^2+c>0$

iz čega slijedi da je:

$x^2>-\frac{c}{a}$

Ako su oba člana a i c pozitivna ili negativna, tada nejednadžba neće imati rješenje u skupu realnih brojeva. Ako je točno jedan od članova negativan (odnosno pozitivan), nejednadžba će imati kao rješenje skup svih vrijednosti x iz intervala: $⟨+\sqrt{\frac{c}{a}},+\mathrm{\infty }⟩$ i $⟨-\mathrm{\infty },-\sqrt{\frac{c}{a}}⟩$,

Primjer:

Neka je zadana nejednadžba:

$2x^2-8>0$ .

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

$2x^2>8$

$x^2>4$

$|x|>2$,

gdje se skup svih vrijednosti x koje udovoljavaju početnoj nejednadžbi nalazi unutar intervala $⟨+2,+\mathrm{\infty }⟩$ i $⟨-\mathrm{\infty },-2⟩$,

Kvadratna nejednadžba gdje je c=0

Kvadratnu nejednadžbu gdje je c=0 možemo prikazati, na primjer, u obliku:

$a{x}^2+bx>0$

što se može prikazati i kao:

$x(ax+b)>0$.

Gornji uvjet je ispunjen u dva različita slučaja:

$a)$$x>0$ i $(ax+b)>0$ te

$b)$$x<0$ i $(ax+b)<0$

odakle se može zaključiti o intervalu unutar kojeg se nalazi skup svih vrijednosti x koje udovoljavaju nejednadžbi.

Primjer:

Neka je zadana nejednadžba:

$x(3x+12)<0$.

Gornji uvjet je ispunjen u dva različita slučaja:

$a)$$x<0$ i $(3x+12)>0$ i

$b)$$x>0$ i $(3x+12)<0$

gdje iz a) slijedi da mora biti x<0 i x>-4, te iz b) slijedi da mora biti x>0 i x<-4 Uvjet pod b) je nemoguć, a uvjet pod a) daje sve vrijednosti x za koje je nejednadžba rješiva, gdje se skup vrijednosti x nalazi unutar intervala:

$⟨-4,0⟩$.

Kvadratna nejednadžba sa svim članovima

Kvadratnu nejednadžbu sa svim članovima, oblika:

$a{x}^2+bx+c\le 0$ ili

$a{x}^2+bx+c\ge 0$

najlakše je riješiti na način da se nađe rješenje odgovarajuće kvadratne jednadžbe:

$a{x}^2+bx+c=0$

da se odredi graf funkcije:

$y=a{x}^2+bx+c$

te da se tada iz grafa funkcije odredi za koje intervale vrijednosti x je funkcija veća od nule, jednaka nuli ili manja od nule u sukladnosti sa zadatkom.

Primjer:

$f(x)=x^2-x-2$

Neka je zadana nejednadžba:

$x^2-x-2\le 0$.

U cilju nalaženja svih vrijednosti x koje koje udovoljavaju nejednadžbi, nalazimo najprije rješenje jednadžbe:

$x^2-x-2=0$

gdje su rješenja:

$x_1=2,x_2=-1$.

Razmatrajući funkciju (slika desno):

$y=x^2-x-2$,

zaključujemo da su rješenja kvadratne jednadžbe nultočke $(2,0)$ i $(-1,0)$ grafa funkcije . Za sve vrijednosti x za koje je i vrijednost funkcije manja ili jednaka nuli bit će ispunjen uvjet dat u nejednadžbi da je:

$x^2-x-2\le 0$

Sve vrijednosti x iz intervala: $[-1,+2]$ bit će zato skup vrijednosti rješenja zadane nejednadžbe. Kvadratna nejednadžba samo je poseban slučaj polinomne nejednadžbe n-tog reda za n=2, gdje se takva nejednadžba općenito može riješiti ako se mogu naći ishodišta odgovarajuće polinomne funkcije.

Literatura

• Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.