Aproksimacija funkcija

Aproksimacija funkcija je matematički problem zamjene zadane funkcije f nekom drugom funkcijom g, na određenom intervalu, koja je u nekom smislu blizu početnoj funkciji i pripada nekoj unaprijed definiranoj klasi funkcija. Nešto manje formalan opis aproksimacije funkcije jest da je to funkcija koja nije potpuno ista kao početna, ali se mnogo lakše izračunava i u željenom intervalu je dovoljno točna.

U primjeni je ta dovoljno točna i lako izračunljiva funkcija najčešće polinom. Problem aproksimacije funkcije f funkcijom g svodi se u tom slučaju na određivanje vrijednosti koeficijenata polinoma a₀, a₁, … a_n.

Aproksimacijska funkcija može biti linearna i nelinearna po parametrima. Prema kriterijima za izbor parametara aproksimacije razlikujemo više vrsta aproksimacije, ali glavne su:

• Interpolacija
• Srednjekvadratna aproksimacija

Linearna i kvadratna aproksimacija

Ako je poznata vrijednost funkcije $f$ i vrijednost u nekoj točki $x_0$ njene prve derivacije $f^{\prime }$ onda polinom

$$g(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$

od svih polinoma prvog stupnja najbolje aproksimira funkciju u okolini točke $x_0$.Takva aproksimacija se ponekad naziva linearnom aproksimacijom. Ako se uzme u obzir i vrijednost druge derivacije onda se dolazi do kvadratne aproksimacije

$$g(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2}(x-x_0{)}^2$$

koja se u primjeni, kada je potrebna veća preciznost od linearne aproksimacije, koristi u okolini $x_0=0$ gdje poprima pojednostavljen oblik.

Takve aproksimacije su poseban slučaj Taylorovog polinoma i Taylorovog reda.