Rolleov teorem

Rolleov teorem je jedan od najvažnijih teorema diferencijalnog računa, a iskaz glasi:

ako je funkcija $f$ neprekidna na zatvorenom intervalu $[a,b]$, derivabilna na otvorenom intervalu $(a,b)$ i ako vrijedi $f(a)=f(b)$, tada postoji točka $c\in (a,b)$ takva da je $f^{\prime }(c)=0.$

Teorem je 1691. dokazao francuski matematičar Michel Rolle, iako ga je iskazao još indijski matematičar Bhaskara II. u 12. stoljeću.

Zanimljivo je da se Rolleovim teoremom može dokazati i poznati teorem o međuvrijednostima, iako se najčešće interpretira kao poseban slučaj tog teorema.

Dokaz

Razlikujemo dva slučaja.

Ako je funkcija $f$ konstantna na intervalu $[a,b]$, odnosno $f(x)=k$, $\mathrm{\forall }x\in [a,b]$, tada je $f^{\prime }(x)=0$, $\mathrm{\forall }x\in (a,b)$ pa je teorem dokazan.

Ako $f$ nije konstantna, tada ona poprima svoju najveću ili najmanju vrijednost na intervalu $(a,b)$ u nekoj točki $c\in (a,b)$ pa tvrdnja slijedi iz Fermatovog teorema.