Asocijativni bialgebroid

U matematici, ako je $L$ asocijativna algebra nad nekim polje k, tada je lijevi asocijativni $L$-bialgebroid druga asocijativna k-algebra $H$ zajedno sa sljedećim preslikanjima: homomorfizam algebri $\alpha :L\to H$ kojeg nazivamo preslikavanjem izvora, homomorfizam algebri $\beta :L^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to H$ kojeg nazivamo preslikavenjem ponora, koji su takvi da slike od $\alpha$ i $\beta$ komutiraju u $H$, inducirajući dakle strukturu $L$-bimodula na $H$ određenog pravilom $a.h.b=\alpha (a)\beta (b)h$ za sve $a,b\in L,h\in H$; nadalje morfizam $L$-bimodula $\mathrm{\Delta }:H\to H{\otimes }_{L}H$, za kojeg zahtijevamo da je kounitalno i koasocijativno komnoženje $H$ na objektu $H$ u monoidalnoj kategoriju $L$-bimodula s monoidalnim produktom ${\otimes }_L$. Nadalje, za pripadna kojedinicu $ϵ:H\to L$ tog komnoženja zahtijevamo da je lijevi kokarakter (u drugom jeziku, to znači da je preslikavanja $H\otimes L\ni h\otimes l\mapsto ϵ(h\alpha (l))\in L$ lijevo unitalno djelovanje koje proširuje množenje (gledano kao lijevo regularno djelovanje) $L\otimes L\to L$ duž $\alpha \otimes {\mathrm{i}\mathrm{d}}_L$). Nadalje, tražimo usuglašenost među komnoženjem $\mathrm{\Delta }$ i množenjima algebre $H$ i njenog tenzorskog kvadrata $H\otimes H$. Ako je algebra $L$ nekomutativna, tenzorski produkt $H{\otimes }_{L}H$ nad $L$ nije algebra, dakle traženje uvjete tipa da je $\mathrm{\Delta }:H\to H{\otimes }_{L}H$ morfizam k-algebri, kako se to radi kod bialgebri, nema smisla. Umjesto toga, zahtijevamo da $H{\otimes }_{L}H$ ima k-potprostor $T$ koji sadržava sliku preslikavanja $\mathrm{\Delta }$ i ima dobro definirano množenje inducirano množenjem na $H\otimes H$ uzduž projekcije na $H{\otimes }_{L}H$. Zahtijevamo, nadalje, da je kosuženje (korestrikcija) $\mathrm{\Delta }{|}^T:H\to T$ homomorfizam unitalnih algebri. Ako je homomorfizam za jedan takav potprostor $T$, tada je za svaki, i tada možemo napraviti kanonski izbor za $T$, naime Takeuchijev umnožak $H{\times }_{L}H\subset H{\otimes }_{L}H$, koji je u svakom slučaju algebra s množenjem induciranim uzduž projekcije s $H\otimes H$. Proizlazi da je dovoljno provjeriti da je slika od $\mathrm{\Delta }$ sadržana u Takeuchijevom umnošku i da je kosuženje komnoženja na njega homomorfizam algebri. Brzeziński i Militaru su pokazali da je pojam asocijativnog bialgebroida ekvivalentan pojmu ${\times }_L$-algebre kojeg je uveo Takeuchi još 1977.

Pojam asocijativnog bialgebroida je poopćenje pojma k-bialgebre gdje je komutativni bazni prsten zamijenjen nekomutativnom k-algebrom $L$. Hopfov algebroid nad $L$ je uređeni par asocijativnog bialgebroida s totalnom algebrom $H$ i antiendomorfizma algebre $H$ koji zadovoljava neke dodatne uvjete (za razliku od slučaja asocijativnih bialgebroida gdje su osnovnee varijante definicije u literaturi zapravo ekvivalentne, u literaturi se promatra više sličnih ali bitno neekvivalentnih varijanti pojma Hopfovog algebroida).

Naziv bialgebroid je uvela J-H. Lu. Često izostavljamo pomen asocijativnosti u nazivu, čija glavna funkcija je razlikovanje od Liejevih bialgebroida, koje također često zovemo naprosto bialgebroidima. Asocijativni bialgebroidi se pojavljuju u dvije kiralne verzije, lijevoj i desnoj. Dualan je pojam bikoalgebroida.

Vanjske poveznice

• nLab, Associative bialgebroid, https://ncatlab.org/nlab/show/bialgebroid
• Stjepan Meljanac, Zoran Škoda, Martina Stojić, Lie algebra type noncommutative phase spaces are Hopf algebroids, Lett. Math. Phys. 107:3, 475–503 (2017) http://dx.doi.org/10.1007/s11005-016-0908-9 http://arxiv.org/abs/1409.8188