Bernoullijeva nejednakost

Bernoullijeva nejednakost je nejednakost nazvana po Jacobu Bernoulliju koja služi za aproksimaciju potenciranja 1 + x. Također, ova se nejednakost često koristi za dokazivanje drugih nejednakosti u realnoj analizi.

Ona glasi ovako: za svaki prirodni broj $n$ i svaki realni broj $h>-1$ vrijedi $(1+h{)}^n\ge 1+nh.$ Jednakost vrijedi samo kada je $n=1$ ili $h=0.$ Uočimo da za paran broj $n$ nejednakost ima rješenja za svaki realni $h.$

Jacob Bernoulli ju je prvi objavio u svojem djelu “Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis” (Basel, 1689.).

Dokazi

Dokaz matematičkom indukcijom

Nejednakost se najčešće dokazuje metodom matematičke indukcije pa ćemo ga ovdje navesti. Za $n=1$ tvrdnja očito vrijedi. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki $k\in \mathbb{N}.$ Onda je prema pretpostavci $(1+h{)}^{k+1}=(1+h{)}^k(1+h)\ge (1+kh)(1+h).$ No, desna strana nejednakosti je jednaka $1+kh+h+k{h}^2\ge 1+(k+1)h$ (jer je $h>-1$) pa prema tome tvrdnja vrijedi i za $k+1$ čime je ovaj teorem dokazan.

Dokaz binomnim teoremom

Nejednakost se za $h\ge 0$ također može dokazati jednostavno koristeći binomni poučak. Dakle, iz binomnog poučka slijedi $(1+h{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})h+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})h^2+...+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})h^n$ što je jednako $1+nh+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})h^2+...+h^n.$ Očito je $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})h^2+...+h^n\ge 0$ pa je konačno $(1+h{)}^n\ge 1+nh.$

Dokaz pomoću derivacije

Dokazujemo Bernoullijevu nejednakost elementarnim diferencijalnim računom.

Neka je $f(h)=(1+h{)}^n-1-nh.$ Očito je $f(0)=0$. Isto tako vrijedi $f^{\prime }(n)=n(1+n{)}^{n-1}-n>0$ pa je funkcija $f$ rastuća te je $f(h)>f(0)=0,$ što je i trebalo dokazati.

Primjene

Bernoullijevom nejednakošću može se dokazati korisna nejednakost $1-x\le e^{-x}$. Naime, vrijedi $e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{x}{n}{)}^n\ge 1+x$.

Ova se nejednakost može pokazati i direktno. Neka je $f:ℝ\to ℝ$ funkcija definirana s $f(x)=e^{-x}+x+1$. Tada je derivacija funkcije $f$ jednaka $f^{\prime }(x)=-e^{-x}+1$. Za svaki $x>0$ je $e^{-x}\le 1$ pa je $f^{\prime }(x)\ge 0,x>0$. Dakle, funkcija $f$ raste na intervalu $(0,+\mathrm{\infty })$ pa kako je neprekidna u točki $x=0$ slijedi $f(x)\ge f(0)=0$ za svaki $x>0$, odnosno $e^{-x}+x-1\ge 0$, što je i trebalo pokazati.