Metrika (matematika)

Metrika ili razdaljinska funkcija je matematička formalizacija intuitivnog geometrijskog koncepta udaljenosti dviju točaka.

Definicija

Uređen par $(X,d)$ nepraznog skupa $X$ i funkcije $d:X\times X\to ℝ$ naziva se metrički prostor, a funkcija $d$ razdaljinska funkcija ili metrika na $X$ ako su ispunjeni ovi uvjeti:Predložak:Is

• $d(x,y)\ge 0,\mathrm{\forall }x,y\in X$
• $d(x,y)=0⟺x=y$
• $d(x,y)=d(y,x),\mathrm{\forall }x,y\in X$
• $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y),\mathrm{\forall }x,y,z\in X$

Primjeri

Jedna od metrika na ${ℝ}^n$ dana je formulom:Predložak:Is

$d(P,Q)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+...+(x_n-y_n{)}^2}$

gdje je $P=(x_1,...,x_n),Q=(y_1,...,y_n)\in {ℝ}^n$. Za $n=1$ i točke $P(a),Q(b)\in ℝ$ dobiva se $d(P,Q)=|a-b|$, za $n=2$ i točke $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)\in {ℝ}^2$ metrika prelazi u udaljenost dviju točaka u ravnini, tj. $d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$. Treba napomenuti da je metrika svaka funkcija koja zadovoljava gornja četiri uvjeta, bez obzira da li se u posebnim slučajevima poklapa s pojmom udaljenosti.

Primjer metrike na ${ℂ}^n$ dan je formulom:

$d(x,y)=\sqrt{|x_1-y_1{|}^2+...+|x_n-y_n{|}^2}$

gdje su $x_k,y_k,k=1,2,...,n\in \mathbb{N}$ koordinate dvaju točaka iz ${ℂ}^n$.

Na skupu $C[a,b]$ svih realnih (kompleksnih) funkcija neprekidnih na segmentu $[a,b]$ jedna od metrika definirana je s:

$d(f,g)=\sqrt{\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(t)-g(t){|}^{2}dt}$

gdje su $f,g\in C[a,b]$.