Uređeni par

U matematici, uređeni par (a, b) par je objekata određen vrstom objekata te njihovim poretkom:

$(a,b)=(b,a)⟺a=b$.

Razlika između uređenog para i dvočlanog skupa (neuređenog para) jest da u dvočlanom skupu poredak elemenata nije definiran. Za dvočlani skup {a, b} vrijedi {a, b} = {b, a}.

Uređene $n$-torke

Uređeni par zove se i n-torka s dva člana ili niz duljine 2. Članovi uređenog para mogu biti uređeni parovi te time omogućuju rekurzivnu definiciju uređenih n-torki. Na primjer, uređena trojka (a, b, c) može se definirati kao (a, (b, c)) tj. kao uređeni par unutar uređenog para.

Skupovna definicija

Uređeni par $(x,y)$ može se definirati kao $\{\{x\},\{x,y\}\}$. Analogno tome, uređena se trojka $(x,y,z)$ može definirati kao $\{\{x\},\{\{x\},\{\{y\},\{y,z\}\}\}\}$ jer je uređena trojka $(x,y,z)$ zapravo uređeni par $(x,(y,z))$. Slično bi se definirale uređene četvorke, petorke, itd. Ovime se relacija jednakosti $(a,b)=(c,d)$ ne definira jer se može dokazati aksiomima teorije skupova, što je jedna od prednosti ovakvog pristupa.

Ovu definiciju uređenoga para dao je ruski matematičar Andrej Kolmogorov.

Drugo

Binarne relacije definirane su kao uređeni parovi.

Na primjer, kod brojčanih uređenih parova, smisao nije samo vrijednost brojeva u paru nego i njihov poredak. Primjer uređenih parova su koordinate u koordinatnom sustavu, gdje prvo mjesto u paru odnosi se na os apscisu a drugo na os ordinatu pa primjerice uređeni par (17,39) nije nikako isto što i (39,17). Drugi primjer uređenih parova su pravi razlomci, gdje je prvi u paru brojnik, a drugi nazivnik te 17/39 nikako nije isto što i 39/17. Karakteristično svojstvo uređenog para:

$(a_1,b_1)=(a_2,b_2)⟺a_1=a_2\mathrm{\&}{b}_1=b_2$