Vidi kôd stranice Rapiditet

'''Rapiditet''' je veličina srodna [[brzina|brzini]] koja se koristi u [[fizika|fizici]] u [[teorija relativnosti|teoriji relativnosti]]. Matematički se može definirati kao [[hiperbolne funkcije|hiperbolni]] [[kut]] između dva [[referentni sustav|referentna sustava]] koji se gibaju jedan u odnosu na drugi.

Prednost korištenja rapiditeta u odnosu na brzinu pri relativističkim brzinama je činjenica da je rapiditet aditivan pri gibanju u jednoj dimenziji. Drugim riječima, ako se neki objekt [[jednoliko pravocrtno gibanje|jednoliko giba]] brzinom ''v''<sub>1</sub> i rapiditetom ''y''<sub>1</sub> u odnosu na promatrača A, a dotični promatrač se giba u istom smjeru brzinom ''v''<sub>2</sub> i rapiditetom ''y''<sub>2</sub> u odnosu na promatrača B, tada kretanje objekta u odnosu na promatrača B možemo rapiditetima jednostavno opisati kao
:<math>y = y_1 + y_2 ,</math>
dok za brzinu vrijedi kompliciranija jednakost
:<math>v = \frac{v_1 + v_2}{1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}} .</math>

U odnosu na brzinu, rapiditet se definira kao
:<math>y = \operatorname{Arth} \frac{v}{c} ,</math>
gdje je ''v'' brzina kretanja, ''c'' [[brzina svjetlosti]], a Arth označava funkciju [[hiperbolne funkcije|area tangens hiperbolni]] ([[inverz]] tangensa hiperbolnog).

Pri malim brzinama, rapiditet je proporcionalan brzini; <math> y \approx v/c</math>. No kako se brzina približava brzini svjetlosti, rapiditet brže raste i teži u beskonačnost. U teoriji relativnosti za sve moguće brzine masenih čestica vrijedi <math>-c < v < c</math> odnosno <math>-1 < v/c < 1</math>. Kako je [[domena (matematika)|domena]] area tangensa hiperbolnog [[interval (matematika)|interval]] <math>\langle -1, 1 \rangle</math>, a [[slika (matematika)|slika]] svi realni brojevi, tako se i interval <math>-c < v < c</math> preslikava u <math>-\infty < y < \infty</math>.

== Povijest ==
[[Hermann Minkowski]] je 1908. primijetio da se [[Lorentzova transformacija]] može opisati kao [[hiperbolna rotacija]] (rotacija za [[imaginarni broj|imaginarni]] kut) u [[prostorvrijeme|prostorvremenskim]] koordinatama.<ref>[[Hermann Minkowski]], [[s:de:Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern|Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern]], 1908.</ref> Time dobivamo veličinu koja se može zbrajati u okviru teorije relativnosti na isti jednostavan način kao što se zbrajaju brzine u [[klasična mehanika|klasičnoj mehanici]]. Opis kuta pomoću rapiditeta dali su 1910. [[Vladimir Varićak]]<ref>[[Vladimir Varićak]], [[s:de:Anwendung der Lobatschefskijschen Geometrie in der Relativtheorie|Anwendung der Lobatschefskijschen Geometrie in der Relativtheorie]], 1910.</ref> i [[E. T. Whittaker]], a naziv je rapiditetu sljedeće godine nadjenuo [[Alfred Robb]].

== Rapiditet u jednoj prostornoj dimenziji ==
[[Lorentzova transformacija]] može se prikazati kao [[matrica (matematika)|matrični]] produkt uz pomoć rapiditeta
:<math>
  \begin{bmatrix}
    c t' \\
    x'
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
    \operatorname{ch} y & -\operatorname{sh} y \\
    -\operatorname{sh} y & \operatorname{ch} y
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    ct \\
    x
  \end{bmatrix}
  = \mathbf \Lambda (y) 
  \begin{bmatrix}
    ct \\
    x
  \end{bmatrix}</math>.

Lako se pokaže da vrijedi <math>\mathbf{\Lambda}(y_1 + y_2) = \mathbf{\Lambda}(y_1)\mathbf{\Lambda}(y_2)</math>, iz čega proizlazi svojstvo aditivnosti rapiditeta. Neka su A, B i C referentni sustavi, a ''y''<sub>XY</sub> označava rapiditet kretanja referentnog sustava X u odnosu na Y; tada vrijedi
:<math>y_\text{AC} = y_\text{AB} + y_\text{BC}</math>.
[[Lorentzov faktor]] γ također se može prikazati kao kosinus hiperbolni od rapiditeta:
:<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}} = \operatorname{ch} y .</math>

Odnos relativističnog [[Dopplerov efekt|Dopplerovog efekta]] i rapiditeta je:
:<math>z = e^y .</math>

== U četverodimenzionalnom prostorvremenu ==
Neka je brzina objekta <math>\mathbf{v} = \boldsymbol{\beta} c</math>. Rapiditet se tada opisuje kao vektor <math>\mathbf{y} = \boldsymbol{\hat{\beta}} \operatorname{Arth}\beta</math>, gdje je <math>\boldsymbol{\hat{\beta}}</math> jedinični vektor u smjeru vektora <math>\boldsymbol{\beta}</math>.

Zbroj rapiditeta ''y''<sub>1</sub> i ''y''<sub>2</sub> razdvojenih kutom α može se izraziti kao:
:<math>\operatorname{ch} y = \operatorname{ch} y_1 \operatorname{ch} y_2 + \operatorname{sh} y_1 \operatorname{sh} y_2 \cos \alpha.</math>

== U fizici elementarnih čestica ==
Energija ''E'' i količina gibanja ''p'' masene čestice su:
:<math>E = \gamma m c^2</math>
:<math>p = \gamma m v.</math>

Koristeći definiciju rapiditeta ''y'' = Arth ''v''/''c'' možemo izvesti:
:<math>\operatorname{ch} y = \operatorname{ch}\left(\operatorname{Arth}\frac{v}{c}\right) = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v}{c}}} = \gamma</math>
:<math>\operatorname{sh} y = \operatorname{sh}\left(\operatorname{Arth}\frac{v}{c}\right) = \frac{\frac{v}{c}}{\sqrt{1-\frac{v}{c}}} = \beta\gamma,</math>
što možemo uvrstiti u prijašnje formule da energiju i količinu gibanja izrazimo pomoću rapiditeta:
:<math>E = m c^2 \operatorname{ch} y</math>
:<math>p = m c \operatorname{sh} y.</math>
Obratno, vrijedi i 
:<math>y = \operatorname{Arth} \frac{pc}{E} = \frac{1}{2} \ln \frac{E+pc}{E-pc} = \ln \frac{E+pc}{mc^2}.</math>

U eksperimentalnoj [[fizika elementarnih čestica|fizici elementarnih čestica]] koristi se promijenjena definicija rapiditeta, u odnosu na ''z''-os, koja je os kojom se gibaju čestice ubrzane u eksperimentu:
:<math>y_z = \frac{1}{2}\ln\frac{E+p_z c}{E-p_z c}.</math>
To je rapiditet Lorentzove transformacije između referentnog sustava laboratorija i sustava u kojem se čestica kreće okomito na ''z''-os.

Pri proučavanju sudara čestice fizičari obično koriste [[pseudorapiditet]], koji se ovdje lakše mjeri nego rapiditet, a i dobra je aproksimacija pri relativističkim brzinama, jer teži k rapiditetu kako se brzina približava ''c'':
:<math>\eta = -\ln\operatorname{tg}\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2}\ln\frac{p+p_L}{p-p_L},</math>
gdje je θ kut između smjera kretanja izlazne čestice i osi sudara.

== Izvori ==
{{izvori}}

[[Kategorija:Relativnost]]
[[Kategorija:Teorijska fizika]]