Vidi kôd stranice Osnovni teorem o racionalnim nultočkama

'''Osnovni teorem o racionalnim nultočkama''' je jedan od temeljnih [[teorem]]a u [[Algebra|algebri]]. 

Tvrdi da ako su <math>p, q</math> relativno [[Prosti broj|prosti]] brojevi i ako je <math>\frac{p}{q}</math> jedna [[nultočka]] [[polinom]]a <math>P(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_0</math> s cjelobrojnim koeficijentima <math>a_n, a_{n - 1}, ..., a_0 \in \mathbb{Z}, a_n, a_0 \neq 0,</math> tada <math>p \vert a_0</math> te <math>q \vert a_n</math>.<ref>[https://www.britannica.com/science/rational-root-theorem rational root theorem]</ref>

Uočimo da je lako vidjeti da je tvrdnja teorema istinita ako je <math>q = 1</math>, tj. ako polinom ima cjelobrojnu nultočku <math>p \in \mathbb{Z}</math> jer tada će očito <math>p</math> dijeliti slobodni član <math>a_0</math>, a uvjet <math>q \vert a_n</math> trivijalno je zadovoljen.

== Dokaz ==
Neka imamo polinom <math>P(x) \ =\ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0</math> s koeficijentima <math>a_0, \ldots a_n \in \mathbb{Z}.</math> Pretpostavimo da je <math>\frac{p}{q}</math> nultočka polinoma <math>P(x)</math>, tj. da je <math>P(\frac{p}{q}) = 0</math> za neka dva relativno prosta broja <math>p, q \in \mathbb{Z}</math>. 

Dakle, vrijedi

:<math>P\left(\tfrac{p}{q}\right) = a_n\left(\tfrac{p}{q}\right)^n + a_{n-1}\left(\tfrac{p}{q}\right)^{n-1} + \cdots + a_1 \left(\tfrac{p}{q}\right) + a_0 = 0.</math>

Pomnožimo obje strane jednakosti s <math>q^n</math>. Dobivamo

:<math>a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1}q + \cdots + a_1 p q^{n-1} + a_0 q^n = 0.</math>

Transformirajmo sada jednakost u pogodniji oblik:

:<math>p \left (a_np^{n-1} + a_{n-1}qp^{n-2} + \cdots + a_1q^{n-1} \right ) = -a_0q^n.</math>

Dakle, <math>p</math> dijeli <math>a_0q^n</math>. No, kako su <math>p, q</math> relativno prosti, prema Euklidovoj lemi su i <math>p, q^n</math> također relativno prosti što znači da mora biti <math>p \vert a_0</math>.

Slično ćemo transformirati jednakost u ovaj oblik

:<math>q \left (a_{n-1}p^{n-1} + a_{n-2}qp^{n-2} + \cdots + a_0q^{n-1} \right ) = -a_np^n.</math>

Analogno slijedi <math>q \vert a_n</math>, što je i trebalo pokazati.

==Izvori==
{{izvori}}

[[Kategorija:Matematika]]