Vidi kôd stranice Kategorija kriški

U [[teorija kategorija|teoriji kategorija]] u [[matematika|matematici]] '''kategorija kriški''' jest posebna konstrukcija nove kategorije iz stare kategorije i odabranog objekta u njoj. Njeni objekti su [[Morfizam|morfizmi]] čija je kodomena taj odabrani objekt. 

Neka je <math>\mathcal{C}</math> kategorija i <math>X</math> odabrani objekt iz <math>\mathcal{C}</math>. Kriška nad <math>X</math> (sinonimi: kategorija objekata nad <math>X</math>, kategorija kriški nad  <math>X</math> ili kategorija morfizama s kodomenom <math>X</math>, engleski slice category ili overcategory) <math>\mathcal{C}/X</math> je kategorija čiji objekti su parovi <math>(A,f)</math> gdje je <math>f:A \to X</math> morfizam u <math>\mathcal{C}</math>. Morfizam <math>u:(A, f) \to (A', f')</math> u <math>\mathcal{C}/X</math> je morfizam <math>u:A \to A'</math> u kategoriji <math>\mathcal{C}</math> takav da sljedeći dijagram komutira 
<blockquote><math>\begin{matrix}
A & \xrightarrow{g} & A' \\
f\downarrow \text{ } & \text{ } &\text{ } \downarrow f' \\
X & = & X
\end{matrix}</math></blockquote>
Dvojstveni koncept kategorije kokriški (sinonim: kokriška ili kategorija objekata (is)pod <math>X</math>) (engl. coslice category ili undercategory) <math>X/\mathcal{C}</math> čiji objekti su parovi <math>(B, g)</math>, gdje je <math>g:X\to B</math> morfizam u <math>\mathcal{C}</math>. Morfizmi u <math>X/\mathcal{C}</math> su određeni morfizmima <math>v: B \to B'</math> u <math>\mathcal{C}</math> za koje sljedeći dijagram komutira <blockquote><math>\begin{matrix}
X & = & X \\
g\downarrow \text{ } & \text{ } &\text{ } \downarrow g' \\
B & \xrightarrow{v} & B'
\end{matrix}</math></blockquote>

Podobjekt objekta <math>X</math> u <math>\mathcal{C}</math> je klasa monomorfizama u <math>\mathcal{C}</math> s kodomenom <math>X</math> koji su međusobno izomorfni kao objekti kriške <math>\mathcal{C}/X</math>. Drugim riječima, morfizmi <math>f:A\to X</math> i <math>f':A'\to X</math> predstavnici su istog podobjekta od <math>X</math> ako postoji invertibilni morfizam <math>u:A'\to A</math>  takav da <math>f\circ u = f'</math>. Kvocijentni objekt objekta <math>X</math> u <math>\mathcal{C}</math> je klasa epimorfizama u <math>\mathcal{C}</math> s kodomenom <math>X</math> koji su međusobno izomorfni kao objekti kategorije <math>X/\mathcal{C}</math> objekata ispod <math>X</math>.

[[Kategorija:Teorija kategorija]]