Vidi kôd stranice Fermatov teorem o stacionarnim točkama

'''Fermatov teorem o stacionarnim točkama''' je jedan od temeljnih [[teorem]]a [[Diferencijalni račun|diferencijalnog računa]], a često se koristi pri nalaženju ekstrema [[Funkcija|funkcije]].

Njegov iskaz kaže da
ako realna funkcija <math>f</math> poprima u <math>x_0</math> lokalni ekstrem i ako <math>f</math> ima [[Derivacija|derivaciju]] u toj točki, tada je
<math>f'(x_0) = 0.</math><ref>[https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calci/DerivativeAppsProofs.aspx Appendix A.4 : Proofs Of Derivative Applications Facts]</ref>

Teorem je dobio ime po proslavljenom [[Francuska|francuskom]] [[matematičar]]u,  [[Pierre de Fermat|Pierru de Fermatu]] koji se među prvima bavio proučavanjem ekstrema realnih funkcija.

Intuitvno govoreći, teorem daje nužan uvjet da bi neka vrijednost bila lokalni ekstrem. 

Naime, ako je <math>f(x_0)</math> lokalni ekstrem, očito je da onda lokalno lijevo od <math>x_0</math> funkcija <math>f</math> treba prvo rasti pa lokalno desno od <math>x_0</math> padati (ako je <math>f(x_0)</math> lokalni maksimum) ili obrnuto, prvo padati pa rasti (ako je <math>f(x_0)</math> lokalni minimum). 
Kada ovome ne bi bilo tako, onda <math>f(x_0)</math> ne bi bio lokalni ekstrem. 

No, teorem kaže da između padanja i rasta (i obrnuto), funkcija treba stagnirati, kako bi njen daljnji tijek bio moguć.

== Dokaz ==
Prema pretpostavci, funkcija <math>f</math> ima derivaciju u točki <math>x_0</math> pa postoji <math>\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{h}</math> gdje smo za <math>x \neq x_0</math> označili <math>\Delta x = x - x_0.</math>

Pretpostavimo sada da <math>f</math> ima maksimum u <math>x_0.</math> Dakle, onda lijevo od točke <math>x_0</math> vrijedi <math>f(x) < f(x_0)</math> za <math>x < x_0.</math>

Prema tome, vrijedi
<math>\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} > 0.</math>

Kada <math>x \rightarrow x_0</math> slijeva, ovaj kvocijent teži k derivaciji u točki <math>x_0</math> pa je <math>f'(x_0) \geq 0.</math>

Desno od točke <math>x_0</math> vrijedi <math>f(x) < f(x_0), x > x_0</math> pa je <math>\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} < 0.
</math>

Kada <math>x \rightarrow x_0</math> slično dobivamo <math>f'(x_0) \leq 0. </math>

Zato mora biti <math>f'(x_0) = 0,</math> što je i trebalo dokazati.<ref>Branimir Dakić, Neven Elezović, Matematika 4, za prirodoslovno-matematičke gimnazije, Element, Zagreb, 2015.</ref>

==Izvori==
{{izvori}}
[[Kategorija:Matematika]]