Vidi kôd stranice Efektivna vrijednost električnog napona i struje

{{Elektrotehnika}}

Pojam '''efektivne vrijednosti''' električnog napona i struje od temeljne je važnosti pri razmatranju [[rad]]a i [[snaga|snage]] izmjeničnog električnog [[napon]]a, odn. [[izmjenična struja|struje]]. 
Efektivna vrijednost napona i struje kvantitativno povezuje amplitudu i oblik izmjeničnog napona, odn. struje s veličinom rada i snage u električnim strujnim krugovima. 

==Rad i snaga u mehanici==
Rad je u fizici definiran kao savladavanje sile na određenom putu. Ako je [[sila]] ne mijenja svoj iznos tijekom puta tada je ukupan rad određen kao:: 
:<math>\!W= F s,  \,   </math>
gdje je ''W'' rad, ''F'' sila, a ''s'' put na kojem je djelovala sila. Ako sila ''F'' tijekom svojeg djelovanja nije konstantna, tada je ukupan rad određen kao:
:<math>\!W = \int_{s=0}^ {s=s} F(s) ds, \, </math>
gdje je sila djelovala na putu od ''s''=0 do ''s''=s, a gdje je iznos sile u svakoj točki puta određen funkcijom ''F=F(s)''. Definiramo li snagu kao brzinu obavljanja rada, tada je prosječna snaga određena kao:
:<math>\!P= \frac {W}{t},  \,    </math>
gdje je ''W'' ukupan rad izvršen u vremenu ''t'', a uz uvjet da je rad u svakom trenutku jednak. Ako, međutim, na tijelo djeluje promjenljiva sila tada niti rad u svakom trenutku ne će biti jednak, gdje možemo definirati trenutnu snagu sustava kao:
:<math>\!P= \frac {dW}{dt},  \,    </math>

==Rad i snaga u elektrostatici==
Kako bi se električni naboj ''+q'' pomaknuo suprotno smjeru električnog polja konstantne jakosti, valja savladati odbojnu elektrostatsku silu i u tu svrhu uložiti odgovarajuću energiju, odn. izvršiti odgovarajući rad:
:<math>\!W= F s= Eqs=  Uq \, </math>
gdje je ''W'' rad izvršen u električnom polju, ''F'' sila električnog polja koja djeluje na naboj, s pomak naboja protivno smjeru silnica električnog polja, ''E'' jakost električnog polja, a ''U'' razlika potencijala između točaka na putu ''s'', od ''U<sub>s=0</sub>'' do ''U<sub>s=s</sub>''.
 
==Rad i snaga istosmjerne električne struje==
Ako se naboj giba kontinuirano, odn. jednoliko tada možemo govoriti o istosmjernoj električnoj struji gdje je tada rad određen kao:
:<math>\!W=  UIt. \, </math>
Sada već možemo razmatrati strujni krug kojim teče struja ''I'' kroz neki otpornik otpora ''R'' tijekom vremena ''t''. Ukupan rad izvršen nad elektičnim nabojima proteklim kroz otpor razmjeran je, dakle, jačini napona (pad napona na otporu), jačini struje kroz otpor i vremena u kojem je tekla električna struja. Razmatramo li utrošak energije u jedinici vremena, tada možemo za istosmjerne napone i struje definirati električnu snagu kao:
:<math>\!P=  \frac {W}{t} = UI=\frac {U^2}{R} = I ^2R. \, </math>

==Rad i snaga izmjeničnog napona i struje==
Pri prolasku izmjenične struje kroz razmatrano opterećenje otpora ''R'', napon, odn. pad napona na otporu i električna struja koja teče kroz otpor mijenjaju se u svakom trenutku vremena. Ako vremenski period učinimo po volji kratkim tada je izvršen rad na otporu jednak:

:<math>\vartriangle W= ui\vartriangle t =\frac {u^2}{R}\vartriangle t = i^2R \vartriangle t, \,</math>
gdje su ''u'', odn. ''i'' neke odgovarajuće trenutne vrijednosti napona, odn. struje izražene funkcijama ''u(t)'', odn. ''i(t)''. Međutim, kada: 
:<math> \vartriangle t \to 0  \, </math> 

možemo zapisati da je ukupan rad u vremenu ''T'' jednak:
:<math>\!W = \int_{t=0}^{t=T}\frac {u^2(t)}{R}dt = \int_{t=0}^{t=T} i^2(t)Rdt .</math>
Uvedimo sada pojam efektivne vrijednosti izmjeničnog napona, odn. struje kao onu vrijednost izmjeničnog napona, odn. struje koja bi na otporu R oslobodila istu energiju kao upravo jednaka vrijednost istosmjerne električne struje. 

===Rad i snaga izmjeničnog pravokutnog napona i struje===
Razmotramo li pravokutni napon amplitude <math>\pm</math> ''U<sub>m</sub>'', perioda ''T'', nalazimo da je u vremenu od ''t''=0 do ''t''=''T'' izvršen ukupan rad:
:<math>\!W = \frac {U^2_{eff}}{R}T= \int_{t=0}^{t=T} \frac {u^2(t)}{R}dt.</math>
Pomnožimo li jednakost s R nalazimo, redom:

:<math>
\begin{align}
U^2_{eff} T& =   \int_{t=0}^{t=T} u^2(t)dt   \\
U^2_{eff} T& =   \int_{t=0}^{t=T/2} U_m^2dt +  \int_{t=T/2}^{t=T} (-U_m)^2(t)dt \\
U^2_{eff} T& =   \int_{t=0}^{t=T/2} U_m^2dt +  \int_{t=T/2}^{t=T} U_m^2(t)dt      \\
U^2_{eff} T& =  U_m^2\frac{T}{2} +  U_m^2T-  U_m^2\frac{T}{2}  \\
U^2_{eff} T & = U_m^2T /(:T) \\
U^2_{eff} & = U_m^2 /^{(1/2)} \\
U_{eff} & = U_m ,
\end{align}
</math>
što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog napona pravokutnog oblika jednaka njegovoj maksimalnoj vrijednosti što se moglo i pretpostaviti. Jednako vrijedi i za pravokutni oblik izmjenične struje, gdje je efektivna vrijednost izmjenične struje pravokutnog oblika jednaka njezinoj maksimalnoj vrijednosti.

===Rad i snaga izmjeničnog sinusoidalnog napona i struje===
Razmotramo li periodički promjenljiv napon:
:<math> u(t)= U_m\sin(\omega t) \,</math>
odn. struju:
:<math> i(t)= I_m\sin(\omega t) \,</math>
gdje su ''U<sub>m</sub>'', odn. ''I<sub>m</sub>'' vršne vrijednosti (amplitude)  izmjeničnog napona, odn. struje, perioda ''T'', nalazimo da je u vremenu od ''t''=0 do ''t=T'' izvršen ukupan rad:
:<math>\!W = \frac {U^2_{eff}}{R}T= \int_{t=0}^{t=T} \frac {u^2(t)}{R}dt,</math> odn.
:<math>\!W = I^2_{eff}RT= \int_{t=0}^{t=T} i^2(t)Rdt.</math>
Načinimo li izvod računa za, na primjer, izmjenični efektivni napon, pomnoživši jednakost s ''R'' nalazimo, redom:
:<math>U^2_{eff}T  =   \int_{t=0}^{t=T} U_m^2 \sin^2(\omega t)dt  </math> 
:<math> U^2_{eff}T=  \int_{t=0}^{t=T}  U_m^2 \frac{1}{2}(1-  \cos(2\omega t))dt </math>   
:<math> U^2_{eff}T=  \frac{1}{2} U_m^2 \int_{t=0}^{t=T}dt- \frac{1}{2} U_m^2 \int_{t=0}^{t=T} \cos(2\omega t)dt   </math>
:<math> U^2_{eff}T= \frac{T}{2} U_m^2 -\frac{1}{2\omega} U_m^2 \int_{t=0}^{t=T} \cos(2\omega t)d(2\omega t)  </math>
Kako je, međutim, vrijednost integrala cos(2ωt)d(2ωt) u naznačenim granicama jednaka nuli, može se zapisati da je, redom: 
:<math>
\begin{align}
U^2_{eff} T & = \frac{T}{2} U_m^2   /(:T)   \\
U^2_{eff} & =   \frac{1}{2} U_m^2 /^{(1/2)} \\
U_{eff}& =   \frac{1}{\sqrt2} U_m,           
\end{align}
</math> 
što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog sinusoidalnog napona jednaka približno: 
:<math> U_{eff} = 0,707U_m,  \,</math> 
gdje bi se na jednak način pokazalo da je efektivna vrijednost izmjenične sinusoidalne struje približno jednaka:
:<math> I_{eff} = 0,707I_m.  \,</math>

===Rad i snaga izmjeničnog pilastog napona i struje===
Razmatramo li periodički promjenljiv pilasti napon vršne vrijednosti <math>\pm </math>
''U<sub>m</sub>'' perioda ''T'', u vremenu od ''t''=0 do ''t=T'' izvršen je ukupni rad:
:<math>\!W = \frac {U^2_{eff}}{R}T= \int_{t=0}^{t=T} \frac {u^2(t)}{R}dt,</math>
Pomnožimo li jednakost s R i uzmemo li u obzir oblik pilastog napona nalazimo, redom:

:<math> U^2_{eff} T =  2 \int_{t=0}^{t=T/2}\Bigg(U_m\frac{t}{\frac{T}{2}}\Bigg)^2 dt   </math>
:<math> U^2_{eff} T= 2 \int_{t=0}^{t=T/2} U_m^2 \frac{4t^2}{T^2} dt   </math>
:<math> U^2_{eff} T= 8 \frac{U_m^2}{T^2}  \int_{t=0}^{t=T/2} t^2dt </math>  
:<math> U^2_{eff} T= 8 \frac{U_m^2}{T^2}\left.\frac{t^3}{3}\right\vert_{t=0}^{t=T/2}    </math>  
:<math> U^2_{eff} T= 8 \frac{U_m^2}{T^2}  \frac{T^3}{3\cdot8}  /:T </math>
:<math>U^2_{eff} =  \frac{U_m^2}{T^3}\frac{T^3}{3} </math>
:<math>U^2_{eff} =  \frac{U_m^2}{3} / ^{(1/2)}   </math>
:<math>U_{eff}  =   \frac{U_m}{\sqrt3},  </math>

što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog napona pilastog oblika jednaka približno: 
:<math> U_{eff} = 0,577U_m,  \,</math> 
gdje bi se na jednak način pokazalo da je efektivna vrijednost izmjenične struje pilastog oblika jednaka približno:
:<math> I_{eff} = 0,577I_m.  \,</math>

[[Kategorija:Elektrotehnika]]