Efektivna vrijednost električnog napona i struje

Pojam efektivne vrijednosti električnog napona i struje od temeljne je važnosti pri razmatranju rada i snage izmjeničnog električnog napona, odn. struje. Efektivna vrijednost napona i struje kvantitativno povezuje amplitudu i oblik izmjeničnog napona, odn. struje s veličinom rada i snage u električnim strujnim krugovima.

Rad i snaga u mehanici

Rad je u fizici definiran kao savladavanje sile na određenom putu. Ako je sila ne mijenja svoj iznos tijekom puta tada je ukupan rad određen kao::

$W=Fs,$

gdje je W rad, F sila, a s put na kojem je djelovala sila. Ako sila F tijekom svojeg djelovanja nije konstantna, tada je ukupan rad određen kao:

$W=\underset{s=0}{\overset{s=s}{\int }}F(s)ds,$

gdje je sila djelovala na putu od s=0 do s=s, a gdje je iznos sile u svakoj točki puta određen funkcijom F=F(s). Definiramo li snagu kao brzinu obavljanja rada, tada je prosječna snaga određena kao:

$P=\frac{W}{t},$

gdje je W ukupan rad izvršen u vremenu t, a uz uvjet da je rad u svakom trenutku jednak. Ako, međutim, na tijelo djeluje promjenljiva sila tada niti rad u svakom trenutku ne će biti jednak, gdje možemo definirati trenutnu snagu sustava kao:

$P=\frac{dW}{dt},$

Rad i snaga u elektrostatici

Kako bi se električni naboj +q pomaknuo suprotno smjeru električnog polja konstantne jakosti, valja savladati odbojnu elektrostatsku silu i u tu svrhu uložiti odgovarajuću energiju, odn. izvršiti odgovarajući rad:

$W=Fs=Eqs=Uq$

gdje je W rad izvršen u električnom polju, F sila električnog polja koja djeluje na naboj, s pomak naboja protivno smjeru silnica električnog polja, E jakost električnog polja, a U razlika potencijala između točaka na putu s, od U_s=0 do U_s=s.

Rad i snaga istosmjerne električne struje

Ako se naboj giba kontinuirano, odn. jednoliko tada možemo govoriti o istosmjernoj električnoj struji gdje je tada rad određen kao:

$W=UIt.$

Sada već možemo razmatrati strujni krug kojim teče struja I kroz neki otpornik otpora R tijekom vremena t. Ukupan rad izvršen nad elektičnim nabojima proteklim kroz otpor razmjeran je, dakle, jačini napona (pad napona na otporu), jačini struje kroz otpor i vremena u kojem je tekla električna struja. Razmatramo li utrošak energije u jedinici vremena, tada možemo za istosmjerne napone i struje definirati električnu snagu kao:

$P=\frac{W}{t}=UI=\frac{U^2}{R}=I^{2}R.$

Rad i snaga izmjeničnog napona i struje

Pri prolasku izmjenične struje kroz razmatrano opterećenje otpora R, napon, odn. pad napona na otporu i električna struja koja teče kroz otpor mijenjaju se u svakom trenutku vremena. Ako vremenski period učinimo po volji kratkim tada je izvršen rad na otporu jednak:

$△W=ui△t=\frac{u^2}{R}△t=i^{2}R△t,$

gdje su u, odn. i neke odgovarajuće trenutne vrijednosti napona, odn. struje izražene funkcijama u(t), odn. i(t). Međutim, kada:

$△t\to 0$

možemo zapisati da je ukupan rad u vremenu T jednak:

$W=\underset{t=0}{\overset{t=T}{\int }}\frac{u^2(t)}{R}dt=\underset{t=0}{\overset{t=T}{\int }}{i}^2(t)Rdt.$

Uvedimo sada pojam efektivne vrijednosti izmjeničnog napona, odn. struje kao onu vrijednost izmjeničnog napona, odn. struje koja bi na otporu R oslobodila istu energiju kao upravo jednaka vrijednost istosmjerne električne struje.

Rad i snaga izmjeničnog pravokutnog napona i struje

Razmotramo li pravokutni napon amplitude $\pm$ U_m, perioda T, nalazimo da je u vremenu od t=0 do t=T izvršen ukupan rad:

$W=\frac{U_{eff}^2}{R}T=\underset{t=0}{\overset{t=T}{\int }}\frac{u^2(t)}{R}dt.$

Pomnožimo li jednakost s R nalazimo, redom:

$\begin{array}{cc}{U}_{eff}^{2}T& =\underset{t=0}{\overset{t=T}{\int }}{u}^2(t)dt\\ U_{eff}^{2}T& =\underset{t=0}{\overset{t=T/2}{\int }}{U}_m^{2}dt+\underset{t=T/2}{\overset{t=T}{\int }}(-U_m{)}^2(t)dt\\ U_{eff}^{2}T& =\underset{t=0}{\overset{t=T/2}{\int }}{U}_m^{2}dt+\underset{t=T/2}{\overset{t=T}{\int }}{U}_m^2(t)dt\\ U_{eff}^{2}T& =U_m^2\frac{T}{2}+U_m^{2}T-U_m^2\frac{T}{2}\\ U_{eff}^{2}T& =U_m^{2}T/(:T)\\ U_{eff}^2& =U_m^2{/}^{(1/2)}\\ U_{eff}& =U_m,\end{array}$

što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog napona pravokutnog oblika jednaka njegovoj maksimalnoj vrijednosti što se moglo i pretpostaviti. Jednako vrijedi i za pravokutni oblik izmjenične struje, gdje je efektivna vrijednost izmjenične struje pravokutnog oblika jednaka njezinoj maksimalnoj vrijednosti.

Rad i snaga izmjeničnog sinusoidalnog napona i struje

Razmotramo li periodički promjenljiv napon:

$u(t)=U_m\sin (\omega t)$

odn. struju:

$i(t)=I_m\sin (\omega t)$

gdje su U_m, odn. I_m vršne vrijednosti (amplitude) izmjeničnog napona, odn. struje, perioda T, nalazimo da je u vremenu od t=0 do t=T izvršen ukupan rad:

$W=\frac{U_{eff}^2}{R}T=\underset{t=0}{\overset{t=T}{\int }}\frac{u^2(t)}{R}dt,$ odn.

$W=I_{eff}^{2}RT=\underset{t=0}{\overset{t=T}{\int }}{i}^2(t)Rdt.$

Načinimo li izvod računa za, na primjer, izmjenični efektivni napon, pomnoživši jednakost s R nalazimo, redom:

$U_{eff}^{2}T=\underset{t=0}{\overset{t=T}{\int }}{U}_m^2{\sin }^2(\omega t)dt$

$U_{eff}^{2}T=\underset{t=0}{\overset{t=T}{\int }}{U}_m^2\frac{1}{2}(1-\cos (2\omega t))dt$

$U_{eff}^{2}T=\frac{1}{2}{U}_m^2\underset{t=0}{\overset{t=T}{\int }}dt-\frac{1}{2}{U}_m^2\underset{t=0}{\overset{t=T}{\int }}\cos (2\omega t)dt$

$U_{eff}^{2}T=\frac{T}{2}{U}_m^2-\frac{1}{2\omega }{U}_m^2\underset{t=0}{\overset{t=T}{\int }}\cos (2\omega t)d(2\omega t)$

Kako je, međutim, vrijednost integrala cos(2ωt)d(2ωt) u naznačenim granicama jednaka nuli, može se zapisati da je, redom:

$\begin{array}{cc}{U}_{eff}^{2}T& =\frac{T}{2}{U}_m^2/(:T)\\ U_{eff}^2& =\frac{1}{2}{U}_m^2{/}^{(1/2)}\\ U_{eff}& =\frac{1}{\sqrt{2}}{U}_m,\end{array}$

što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog sinusoidalnog napona jednaka približno:

$U_{eff}=0,707U_m,$

gdje bi se na jednak način pokazalo da je efektivna vrijednost izmjenične sinusoidalne struje približno jednaka:

$I_{eff}=0,707I_m.$

Rad i snaga izmjeničnog pilastog napona i struje

Razmatramo li periodički promjenljiv pilasti napon vršne vrijednosti $\pm$ U_m perioda T, u vremenu od t=0 do t=T izvršen je ukupni rad:

$W=\frac{U_{eff}^2}{R}T=\underset{t=0}{\overset{t=T}{\int }}\frac{u^2(t)}{R}dt,$

Pomnožimo li jednakost s R i uzmemo li u obzir oblik pilastog napona nalazimo, redom:

$U_{eff}^{2}T=2\underset{t=0}{\overset{t=T/2}{\int }}(U_m\frac{t}{\frac{T}{2}}{)}^{2}dt$

$U_{eff}^{2}T=2\underset{t=0}{\overset{t=T/2}{\int }}{U}_m^2\frac{4t^2}{T^2}dt$

$U_{eff}^{2}T=8\frac{U_m^2}{T^2}\underset{t=0}{\overset{t=T/2}{\int }}{t}^{2}dt$

$U_{eff}^{2}T=8\frac{U_m^2}{T^2}{\frac{t^3}{3}|}_{t=0}^{t=T/2}$

$U_{eff}^{2}T=8\frac{U_m^2}{T^2}\frac{T^3}{3\cdot 8}/:T$

$U_{eff}^2=\frac{U_m^2}{T^3}\frac{T^3}{3}$

$U_{eff}^2=\frac{U_m^2}{3}{/}^{(1/2)}$

$U_{eff}=\frac{U_m}{\sqrt{3}},$

što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog napona pilastog oblika jednaka približno:

$U_{eff}=0,577U_m,$

gdje bi se na jednak način pokazalo da je efektivna vrijednost izmjenične struje pilastog oblika jednaka približno:

$I_{eff}=0,577I_m.$