Ptolemejev poučak

Ptolomejev poučak daje vezu između duljina stranica tetivnog četverokuta: $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD$.

Ptolemejev ili Ptolomejev poučak teorem je u euklidskoj geometriji koji daje nužan uvjet da bio četverokut bio tetivan (cikličan), tj. da bi se oko njega mogla opisati kružnica.

Teorem je koristio starogrčki matematičar Klaudije Ptolomej u svome djelu Almagest u kojem je priredio tablice tetiva od 0.5° do 180° s razmakom od pola stupnja.

Iskaz teorema glasi ovako: U svakom tetivnom četverokutu zbroj umnožaka duljina nasuprotnih stranica jednak je umnošku duljina dijagonala.

Odnosno, ako je četverokut $ABCD$ tetivan, tada vrijedi sljedeća jednakost:

$|AC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|$

Obrat Ptolomejeva poučka također vrijedi.

Dokaz

Vizualni dokaz

Animirani vizualni dokaz Ptolomejeva poučka.

Klasični dokaz

Konstruirajno kut $\sphericalangle ADE$ jednak kutu $\sphericalangle BDC$.

Kako su $\sphericalangle DAE$ i $\sphericalangle DBC$ obodni kutovi nad istim lukom, oni su sukladni, pa su trokuti $\mathrm{\Delta }AED$ i $\mathrm{\Delta }BCD$ slični. Zbog te je sličnosti $|AD|:|AE|=|BD|:|BC|$, odnosno

$|AD|\cdot |BC|=|AE|\cdot |BD|$.

Na isti se način dobije da su trokuti $\mathrm{\Delta }ABD$ i $\mathrm{\Delta }CDE$ slični, pa slijedi $|AB|:|BD|=|CE|:|CD|$, odnosno

$|AB|\cdot |CD|=|BD|\cdot |CE|$.

Zbrajanjem tih dviju jednakosti imamo:

$|AB|\cdot |CD|+|AD|\cdot |BC|=|BD|\cdot |CE|+|AE|\cdot |BD|,$ a kako je $|AE|+|CE|=|AC|\cdot |BD|$ slijedi:

$|AB|\cdot |CD|+|AD|\cdot |BC|=|AC|\cdot |BD|,$ što je i trebalo pokazati.

Ako pak tetivni četverokut nije jednostavan, tada će $E$ ležati izvan segmenta $AC$. No, u ovom slučaju je $|AE|-|CE|=\pm |AC|$, što opet daje željeni rezultat.

Ptolomejeva nejednakost

Općenitija tvrdnja koja vrijedi samo za tetivne četverokute naziva se Ptolomejeva nejednakost, a ona glasi ovako: za dani četverokut $ABCD$ vrijedi

$\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{DA}\ge \overline{AC}\cdot \overline{BD}$.

Jednakost vrijedi ako i samo ako je četverokut tetivni (ciklični) pa je ovaj poseban slučaj ekvivalentan Ptolomejevu poučku.