Jednadžba difuzije

Jednadžba difuzije ili difuzijska jednadžba je parabolična parcijalna diferencijalna jednadžba drugoga reda. U matematici se koristi u područjima vezanim za Markovljev lanac, dok je iznimnu važnost ima u statističkoj fizici prilikom svakoga procesa koji je rezultat nasumičnog kretanja čestica. Zbog svoje općenitosti, koristi se i u raznim drugim područjima, kao informatici, biološkim znanostima, društvenim znanostima, ekonomiji, itd.

Jednadžba

Difuzijska jednadžba je definirana kao

$\frac{\partial \varphi (𝐫,t)}{\partial t}=\mathrm{\nabla }\cdot [D(\varphi ,𝐫)\mathrm{\nabla }\varphi (𝐫,t)],$

gdje je ϕ(r, t) koncentracija ili gustoća promatranoga sustava u točki r i u vremenu t, a D(ϕ, r) je difuzijski koeficijent za koncentraciju ϕ i točku r. Operator ∇ vektorski diferencijalni operator nablu.

Ako koeficijent difuzije ovisi o koncentraciji (ili gustoći), tada je jednadžba nelinearna. U suprotnom je linearna.

Ako je koeficijent difuzije simetrična, pozitivno definirana, matrica, tada jednadžba predstavlja anizotropnu difuziju, i ima oblik:

$\frac{\partial \varphi (𝐫,t)}{\partial t}=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3\frac{\partial }{\partial x_i}[D_{ij}(\varphi ,𝐫)\frac{\partial \varphi (𝐫,t)}{\partial x_j}]$

Ako je D konstanta, tada se jednadžba reducira na linearni diferencijalnu jednadžbu:

$\frac{\partial \varphi (𝐫,t)}{\partial t}=D{\mathrm{\nabla }}^2\varphi (𝐫,t).$

Rješenje za takav slučaj za jednu dimenziju se nalazi u obliku Gaussijana:

$\varphi (𝐫,t|x_0,r_0)=\frac{1}{\sqrt{4\pi D(t-t_0)}}{e}^{-\frac{(x-x_0{)}^2}{4D(t-t_0{)}^2}}$

Gdje su $x_0$ i $t_0$ početne vrijednosti pozicije i vremena.

Izvod

Difuzijska jednadžba se trivijalno može izvesti kombinacijom jednadžbe kontinuiteta

$\frac{\partial \varphi }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣=0,$

S Fickovim prvim zakonom

$𝐣=-D(\varphi ,𝐫)\mathrm{\nabla }\varphi (𝐫,t).$

koji kaže da je tok materijala koji vrši difuziju proporcionalan lokalnom gradijentu koncentracije.

Vidi još

• Difuzija
• Statistička mehanika
• Markovljev lanac