Bikvadratna i simetrična jednadžba

Bikvadratna i simetrična jednadžba su jednadžbe viših potencija koje se u posebnim slučajevima svode na kvadratne.

Bikvadratna jednadžba

Kod bikvadratne jednadžbe moguća je supstitucija oblika: x⁴ = t² i x² = t ili neka slična supstitucija kojom se jednadžba svodi na kvadratnu.

Primjer 1

Zadana je jednadžba:

$x^4-13x^2+36=0.$

Supstitucijom: x⁴ = t² i x² = t nalazimo novu jednadžbu:

$t^2-13t+36=0,$

gdje rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo:

$t_1=9,t_2=4$

gdje su tada rješenja zadane jednadžbe:

$x_1=+3,x_2=-3,x_3=+2,x_4=-2.$

Primjer 2

Zadana je jednadžba:

$x^6-19x^3-216=0.$

Supstitucijom: x⁶ = t² te x³ = t nalazimo novu jednadžbu:

$t^2-19t-216=0.$

gdje rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo i rješenja: $t_1=27,t_2=-8$ odn. rješenja početne jednadžbe: $x_1=+3,x_2=-2.$

Simetrična jednadžba

Pri rješavanju simetrične jednadžbe nalazimo odgovarajuću supstituciju kojom se simetrična jednadžba više potencije pretvara u kvadratnu jednadžbu. Zadana je jednadžba:

$x^4+2x^3-6x^2+2x+1=0.$

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

$\begin{array}{cc}{x}^4+2x^3-6x^2+2x+1& =0/:(x^2)\\ x^2+2x-6+2\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}& =0\\ (x^2+\frac{1}{x^2})+2(x+\frac{1}{x})-6& =0/(Supstitucija:x+\frac{1}{x}=t,x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2)\\ t^2-2+2t-6& =0\\ t^2+2t-8& =0\end{array}$

Rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo da je:

$t_1=+2,t_2=-4.$

Sukladno uvedenoj supstituciji možemo ustvrditi da je:

$a)x+\frac{1}{x}=2$

$b)x+\frac{1}{x}=-4$

Prema a) nalazimo novu kvadratnu jednadžbu:

$x^2-2x+1=0$

i prva dva rješenja:

$x_1=x_2=1,$

a prema b) nalazimo i drugu novu kvadratnu jednadžbu:

$x^2+4x+1=0.$

i druga dva rješenja:

$x_3=2+\sqrt{3},x_4=2-\sqrt{3}.$

Literatura

• Gusić J., Mladinić P.,Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.