Analitička geometrija

Analitička geometrija je grana geometrije u kojoj se koriste algebarske metode prvenstveno linearne algebre da bi se riješili geometrijski problemi.

Metoda analitičke geometrije se koristi u svim primijenjenim znanostima, ali posebno unutar fizike, npr. za opis putanje planeta. Prvo se je analitička geometrija bavila pitanjima planeta i tzv. euklidskom geometrijom (prostornom geometrijom).

Koordinatni sustav

Osnova analitičke geometrije je korištenje koordinatnog sustava. Obično se koristi Kartezijev koordinatni sustav.

Analitička geometrija u R²

Koordinatni sustav i transformacije

Sa (x, y) označavaju se početne koordinate a sa (x', y') nove

Paralelno pomjeranje

Ako x₀, y₀ su koordinate koordinatnog početka u novom sistemu, onda vrijedi:

$x^{\prime }=x-x_0,y^{\prime }=y-y_0$

Rotacija

Ako se kut rotiranja $\alpha$ smatra pozitivnim( kut kojim se pozitivni x-os treba pomjerati da bi se podudarii s pozitivnim y-osom) onda su formule za transformaciju:

$x^{\prime }=x\cos \alpha +y\sin \alpha x=x^{\prime }\cos \alpha -y^{\prime }\sin \alpha$

$y^{\prime }=y\cos \alpha -x\sin \alpha y=x^{\prime }\sin \alpha +y^{\prime }\cos \alpha$

Udaljenost između dvije točke

Udaljenost između točaka (x₁, y₁) i (x₂, y₂) je:

$\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Površina trokuta

Ako vrhovi trokuta imaju koordinate (x₁, y₁), (x₂, y₂) i (x₃, y₃), njihova površina je

$\pm T=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|=$

$=\frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)]$

Da bi T bilo pozitivno, moraju točke (x₁,y₁), (x₂, y₂) i (x₃, y₃) slijediti jedna drugu u pozitivnom pravcu, tj. suprotno smjeru kretanja kazaljki na satu.

Dijeljenje udaljenosti

Ako se udaljenost između točaka (x₁, y₁) och (x₂, y₂), dijeli u odnosu na m/n koordinate će biti:

$x=\frac{m{x}_2+n{x}_1}{m+n},y=\frac{m{y}_2+n{y}_1}{m+n}$

Koeficijent kuta pravca

Neka $\alpha$ je kut koji pravac zatvara s x-osom. Ako pravac prolazi kroz točke (x₁, y₁) i (x₂,y₂) onda je oeficijent kuta pravca:

$\tan \alpha =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1};x_1\ne x_2$

Jednadžba pravca

Jednadžba pravca je jednadžba prvog reda po x i y i opća formula je

$Ax+By+C=0$

Svaka jednadžba prvog reda predstavlja pravca.

$x=a$

znači pravac paralelan s y-osom i

$y=b$

pravac paralelan s är en linje parallell med x-osom.

$y=kx$

je pravac kroz koordinatni početak.

k-formula

Pravac se može napisati i u obliku

$y=kx+m$

ako je pravac paralelan s y-osom, tj. B är različit od nule. Ovdje je k koeficijent kuta pravca

$k=-\frac{A}{B},m=-\frac{C}{B}$

i m y-koordinate dodira pravca s y-osom.

Presjek

Parametri presjecanja su točke presjeka pravaca x-ose i y-ose i pišu se

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

gdje a je x-koordinata za točku presjeka pravca s x-osom a b je y-koordinata za točku presjeka pravca s y-osom ili

$a=-\frac{C}{A},b=-\frac{C}{B}$

Standardni oblik

$x\cos \alpha +y\sin \alpha -m=0$

je standardni oblik pravca. $\alpha$ och m bestäms ur

$m=-\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}},$

$\cos \alpha =\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}},\sin \alpha =\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Znak kvadratnog korijena se bira tako da m bude pozitivno.

m je dužina normale iz koordinatnog početka do pravca i $\alpha$ je kut te normale s x-osom.

Udaljenost točke od pravca

Pravac napisan u standardom obliku

$x\cos \alpha +y\sin \alpha -m=0$

Onda je udaljenost točke P s koordinatama (x₁,y₁):

$p=\pm (x_1\cos \alpha +y_1\sin \alpha -m)$

gdje se znak + bira ako koordinatni početak i P leže na različitim stranama pravca.

Formula pravca kroz jednu točku

Jednadžba za pravac kroz točku (x₁, y₁) s kutnim koeficijentom k je

$y-y_1=k(x-x_1)$

Formula pravca kroz dvije točke

Jednadžba za pravac kroz točke (x₁, y₁) i (x₂, y₂) je

$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$

Kut između dva pravca

Ako su koeficijenti kuta pravca k₁ i k₂ kut između pravaca izračunava se kao:

$\tan \beta =\frac{k_2-k_1}{1+k_1{k}_2}$

Krivulje u ravni

Krivulja u ortogonalnom koordinatnom sustavu daje vezu između koordinata x i y i može se napisati kao funkcija.

Jednadžba krivulje se može napisati u eksplicitnom obliku

$y=f(x)$

u implicitnom obliku

$F(x,y)=0$

ili u parametarskom obliku

$x=x(t),y=y(t)$

U polarnim koordinatama $(r,\psi )$ jednadžba krivulje je

$r=f(\psi )$

ili

$F(r,\psi )=0$

Tangenta

Koeficijent kuta za tengentu jednog pravca u pravokutnim koordinatima je jednak derivaciji funkcije u točki dodira:

$k=\frac{dy}{dx}=\frac{df(x)}{dx}$

$k=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}\text{(implicitan oblik)}$

$k=\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}\text{(parametarski oblik)}$

Asimptote

S asimptotom jedne krive misli se na pravac takav da razdaljina između pravca i točke na krivoj ide prema nuli gdje točka ide u beskonačnost. Ako se asimptota krivulje y = f(x) piše pomoću jednadžbe y = kx + m, onda se k i m određuju prema:

$k=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{x},m=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }[f(x)-kx]$

Analitička geometrija u R³

Koordinatni sustav u R³

Koordinatni sustav

Koordinatni sustav u R³ koristi tri ravnine, obično okomite jedna na drugu. Točke presjeka se nazivaju x-, y- i z-os. Ove tri ravnine označavaju se po ulaznim osama kao xy-ravnina, yz-ravnina i xz-ravnina.

Pravokutne koordinate

Kosinus smjera

Koordinate točke P' (x, y, z) su okomita udaljenost do yz-, xz- i xy-ravni. Ako su $\alpha ,\beta ,\gamma$ kutovi između vektora položaja duljine r i os onda je

$x=r\cos \alpha ,y=r\cos \beta ,z=r\cos \gamma$

gdje

$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$

su kosinusi smjera označeni s a, b i c za koje vrijedi

$a^2+b^2+c^2=1$

Kut između dva pravca

Ako imamo dva pravca, OA₁ s kosinusima smjera a₁, b₁ i c₁ i OA₂ s kosinusima smjera a₂, b₂ i c₂, onda vrijedi za kut $\theta$ između OA₁ i OA₂:

$\cos \theta =a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2$

Rotacija koordinatnog sustava

S prijelazom iz pravkokutnog koordinatnog sustava (xyz) u jedan drugi (x'y'z') sa zajedničkim koordinatnim početkom ali različitim smjerovima osi i smjerovima kosinusa u xyz-osi označenim

za x'-os sa $(a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })$

za y'-os sa $(a^{″},b^{″},c^{″})$

za z'-os sa $(a^{‴},b^{‴},c^{‴})$

biće transformacije

$\begin{array}{cc}x& =a^{\prime }{x}^{\prime }+b^{\prime }{y}^{\prime }+c^{\prime }{z}^{\prime }\\ y& =a^{″}{z}^{\prime }+b^{″}{y}^{\prime }+c^{″}{z}^{\prime }\\ z& =a^{‴}{x}^{\prime }+b^{‴}{y}^{\prime }+c^{‴}{z}^{\prime }\end{array}\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =a^{\prime }x+a^{″}y+a^{‴}z\\ y^{\prime }& =b^{\prime }x+b^{″}y+b^{‴}z\\ z^{\prime }& =c^{\prime }x+c^{″}y+c^{‴}z\end{array}$

Udaljenost između dvije točke

Udaljenost d između točaka (x₁, y₁, z₁) i (x₂, y₂, z₂) je

$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$

Ako su a, b i c kosinusi pravca za pravac između dvije točke, onda se izračunavaju kao

$a=\frac{x_2-x_1}{d},b=\frac{y_2-y_1}{d},c=\frac{z_2-z_1}{d},$

Ravnina u R³

Ako je (x₀, y₀, z₀) jedinični vektor do jedne točke u ravnini i (A, B, C) je okomit vektor na ravninu, može se jednadžba ravnine napisati kao skalrarni proizvod okimitog vektora i vektora (x - x₀, y - y₀, z - z₀):

$(A,B,C)(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0$

što daje generalni oblik jednadžbe ravni kao

$Ax+By+Cz+D=0$

gdje je D

$-(A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0)$

Jednadžba prvog reda predstavlja uvijek ravnunu. Cosinusi pravca za okomicu ravnine su En ekvation av första graden representerar alltid ett plan. Riktningscosinerna för planets normal är

$\frac{A}{\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2)}},\frac{B}{\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2)}},\frac{C}{\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2)}},$

Znak pred korijenom se izabire tako da je

$\frac{D}{\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2)}}$ uvijek pozitivan. Na taj način je okomica usmjerena prema ravninoj "pozitivnoj" strani.

Okomiti oblik

Dijeljenjem sa

$\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2)}$

dobijemo jednadžbu ravni u okomitom obliku

$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma =p$

gdje su$\alpha ,\beta ,\gamma$ kutovi koje okomica na ravac čini s koordinatnim osama a p je udaljenost okomice od koordinatnog početka pa do ravnine.

Vektorski oblik

Jednadžba ravni s okomitim vektorom n, datom točkom r₀ i r kao jediničnim vektorim za proizvoljnu točku (x, y, z) u ravnini je

$(𝐫-{𝐫}_0)𝐧=0$

Udaljenost točke od ravnine

Koordinate točke se pišu u okomitom obliku ravnine

$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0$

a udaljenost je onda jednaka lijevoj strani jednadžbe s predznakom '-' ako točka i koordinatni početak se nalaze na istoj strani ravnine, inače s predznakom '+'.

Primjer:

Izračunati udaljenost od točke (1, -3, 2) do ravnine

$x+2y-2z+6=0$

Jednadžba ravnine u okomitom obliku

$\frac{x+2y-2z+6}{-3}=0;d=\frac{1-3\cdot 2-2\cdot 2+6}{-3}=1$

Kut između dvije ravnine

Kut $\omega$ između dvije ravnine

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$

$A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$

izračunava se pomoću jednadžbe

$\cos \omega =\frac{A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$

Ako su okomiti vektori na ravninu poznati može se skalarni proizvod okomitih vektora upotrijebiti da bi se izračunao kut između ravnine:

$\cos \omega =\frac{{𝐧}_1{𝐧}_2}{|{𝐧}_1||{𝐧}_2|}$

Pravac

Pravac se može smatrati presjekom između dvije ravnine i može se napisati uz pomoć jednadžbi prvog reda

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$

$A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$

Pravac se može napisati pomoću točke P = (x₀, y₀, z₀) na pravcu i vektora pravca u:

U parametarskom obliku vrijedi za jednu točku (x, y, z) na pravoj liniji:

$(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+\lambda (a,b,c)$

ili

$x=x_0+a\lambda$

$y=y_0+b\lambda$

$z=z_0+c\lambda$

gdje su a, b i c koeficijenti pravca, ili poslije eliminiranja parametara

$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$

U vektorskom obliku jednadžba pravca se može napisati kao

$𝐫={𝐫}_0+t𝐮$

Krive linije u R³

Kriva linija u R³ može nastati na više načina:

Kao presjekk dvije površine:

$F_1(x,y,z)=0F_2(x,y,z)=0$

U parametarskom obliku:

$x=x(t)y=y(t)z=z(t)$

U vektorskom obliku:

$𝐫=x(t)𝐢+y(t)𝐣+z(t)𝐤$

Primjer:

Uvrnuta kriva linija se može napisati u parametarskom obliku kao

$x=r\cos (t)y=r\sin (t)z=kt$

Dužina luka

Dužina luka na krivoj liniji je

$ds=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2}$

Dužina luka između t₀ i t je

$s=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2+z^{\prime }(t{)}^2}dt$

Tangenta

Jednadžba tangente u vektorskom obliku je

$𝐭={\left(\frac{d𝐫}{ds}\right)}_0,𝐫={𝐫}_{\mathrm{𝟎}}+\lambda {\left(\frac{d𝐫}{ds}\right)}_0$

Okomita ravan

Jednadžba u vektorskom obliku za okomitu ravninu u točki s je

$(𝐫-{𝐫}_{\mathrm{𝟎}}){\left(\frac{d𝐫}{ds}\right)}_0=0$

Dodirna ravnina

U točki na krivoj liniji u R³ može se općenito dodati nebrojeno mnogo tangentnih ravni krivulji. Tangentna ravnina koja je kao najbliža naslonjena na krivu liniju se naziva dodirna ravnina i ima jednadžbu

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

gdje se A, B i C izračunavaju iz formula

$A=y^{\prime }(s)z^{″}(s)-z^{\prime }(s)y^{″}(s)$

$B=z^{\prime }(s)x^{″}(s)-x^{\prime }(s)z^{″}(s)$

$C=x^{\prime }(s)y^{″}(s)-y^{\prime }(s)x^{″}(s)$

ili u vektorksom obliku

$(𝐫-{𝐫}_0){(\frac{d𝐫}{ds}\times \frac{d^2𝐫}{d{s}^2})}_0=0$

Glavna okomica

Okomica krivulje koja leži u dodirnoj ravnini se naziva glavna okomica. Njen pravac je isti kao i pravac vektora

${\left(\frac{d^2𝐫}{d{s}^2}\right)}_0$

Dužina ovog vektora se naziva krivina K, a vektoor se naziva zakrivljenim vektorom:

$K={\left|\frac{d^2𝐫}{d{s}^2}\right|}_0=\sqrt{{\left(\frac{d^{2}x}{d{s}^2}\right)}_0^2+{\left(\frac{d^{2}y}{d{s}^2}\right)}_0^2+{\left(\frac{d^{2}z}{d{s}^2}\right)}_0^2}$

Površine u R³

Površina u R³ može se napisati u parametarskom obliku

$x=x(u,v)$

$y=y(u,v)$

$z=z(u,v)$

ili u vektorskom obliku

$𝐫=𝐫(u,v)$

Jednadžba se može također dati kao

$F(x,y,z)=0$

ili

$z=f(x,y)$

U ovom drugom slučaju x i y se mogu smatrati paramtrima, a odakle slijedi jednadžba u parametarskom obliku:

$\begin{array}{cc}x& =u\\ y& =v\\ z& =f(u,v)\end{array}$

Linijski element

$\begin{array}{cc}d{𝐫}^2& =d{s}^2=d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2=\\ & =[1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2]d{x}^2+2\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}dxdy+[1+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2]d{y}^2\end{array}$

Jednadžba tangente ravnine

Ako je jednadžba površine

$F(x,y,z)=0$

može se jednadžba tangente ravni napisati u dodirnoj točki (x₀, y₀, z₀):

$(x-x_0)F_{{x_0}^{\prime }}+(y-y_0)F_{{y_0}^{\prime }}+(z-z_0)F_{{z_0}^{\prime }}=0$

ili u vektorskom obliku kao

$(𝐫-{𝐫}_0)(\text{grad}F{)}_0=0$

Jednadžba okomice na površinu

Ako je jednadžba površine

$F(x,y,z)=0$

onda vrijedi za okomicu površine u točki (x₀, y₀, z₀):

$\frac{x-x_0}{F_{{x_0}^{\prime }}}=\frac{y-y_0}{F_{{y_0}^{\prime }}}=\frac{z-z_0}{F_{{z_0}^{\prime }}}$

ili

$𝐫-{𝐫}_0=\lambda (\text{grad}F{)}_0$