Tenzor

U fizici i matematici, tenzor je poopćenje skalara i vektora. Za dani konačnodimenzionalni vektorski prostor $V$ nad poljem $k$, s dualnim prostorom $V^{*}$ linearnih funkcionala iz $V$ u $k$. tenzor tipa $(p,q)$ je multilinearno preslikavanje

$T:\underset{p\text{ primjeraka}}{\underbrace{V^{*}\times \dots \times V^{*}}}\times \underset{q\text{ primjeraka}}{\underbrace{V\times \dots \times V}}\to k.$

Alternativno, tenzor tipa $(p,q)$ je element tenzorskog produkta $V^{\otimes p}\otimes (V^{*}{)}^{\otimes q}:=\underset{p\text{ primjeraka}}{\underbrace{V{\otimes }_k\dots {\otimes }_{k}V}}\otimes \underset{q\text{ primjeraka}}{\underbrace{V^{*}{\otimes }_k\dots {\otimes }_k{V}^{*}}}$ odgovarajućeg broja primjeraka vektorskog prostora i njegovog duala.

Ako je zadana baza $e_1,\dots ,e_n$ vektorskog prostora $V$, tada kovektori $e^{*1},\dots ,e^{*n}\in V^{*}$ čine bazu dualnog prostora, a vektori $e_{i_1}\otimes \dots \otimes e_{i_p}\otimes e_{j_1}\otimes \dots \otimes e_{j_q}$ gdje $i_1,\dots ,i_p,j_1,\dots ,j_q\in \{1,\dots ,n\}$ čine bazu vektorskog prostora $V^{\otimes p}\otimes (V^{*}{)}^{\otimes q}$ koji je dimenzije $n^{p+q}$. Broj $p+q$ nazivamo i red tenzora. Vektori su dakle tenzori prvog reda, a skalari su tenzori nultog reda.

Kako za konačnodimenzionalne vektorske prostore vrijedi $V^{*}\otimes V\cong En{d}_k(V,V)$ to se tenzori tipa $(1,1)$ poistovjećuju s linearnim operatorima i u zadanoj bazi opisuju kvadratnom matricom. Često se tenzor tipa $(p,q)$ može odrediti kao $p+q$-dimenzionalna hiperkubna matrica brojeva (elemenata u polju) koji se s obzirom na promjenu koordinata među vektorima ponašaju na određeni način. Te brojeve zovemo komponentama tenzora u danoj bazi. U terminima multilinearnih funkcionala, komponente tenzora $T$ tipa $(p,q)$ su brojevi $T_{j_1,\dots ,j_q}^{i_1,\dots ,i_p}=T(e_{i_1},\dots ,e_{i_p},e^{*j_1},\dots ,e^{*j_q})$.

Naime kod promjene baze $f_{i^{\prime }}=\sum _{j=1}^n{O}_{i^{\prime }}^j{e}_j$ dualna baza se mijenja kontragredijentno, $f^{*i^{\prime }}=\sum _{j=1}^n(O^{-1}{)}_j^{i^{\prime }}{e}^{*j}$, a komponente tenzora $T$ u novoj bazi su

$T_{{l_1}^{\prime },\dots ,{l_q}^{\prime }}^{{k_1}^{\prime },\dots ,{k_p}^{\prime }}=\sum _{i_1,\dots ,i_p,j_1,\dots ,j_q}{O}_{i_1}^{{k_1}^{\prime }}\dots O_{i_1}^{{k_p}^{\prime }}(O^{-1}{)}_{{l_1}^{\prime }}^{j_1}\dots (O^{-1}{)}_{{l_q}^{\prime }}^{j_q}{T}_{j_1,\dots ,j_q}^{i_1,\dots ,i_p}$.

Primjeri tenzora 2. reda u fizici su tenzor inercije u dinamici čvrstog tijela, tenzor polarizacije u optici, tenzor napetosti u teoriji elastičnosti, tenzor energije-impulsa u teoriji polja i Faradayev tenzor u elektrodinamici (u relativističkom formalizmu 4-vektora).

Vidi još

• Skalar
• Vektor
• Verzor