Navier-Stokesove jednadžbe

Navier-Stokesove jednadžbe diferencijalne su jednadžbe dinamike fluida koje se koriste za izračun gibanja viskoznih fluida.

Ime su dobile po francuskom inženjeru i fizičaru Claude-Louisu Navieru i irskom fizičaru i matematičaru Georgeu Gabrielu Stokesu. Razvijane su tijekom nekoliko desetljeća, od 1822. (Navier) do 1842.-1850. (Stokes). Prve korake u tom smjeru napravio je još Leonhard Euler sa svojim Eulerovim jednadžbama iz 1757. godine.

Navier–Stokesove jednadžbe izražavaju zakon očuvanja količine gibanja za newtonovske tekućine i koriste zakon očuvanje mase. Korisne su jer opisuju fiziku mnogih fenomena od znanstvenog i inženjerskog interesa. Mogu se koristiti za modeliranje vremena, oceanskih struja, protoka vode u cijevi i strujanja zraka oko krila. Navier–Stokesove jednadžbe, u svojim potpunim i pojednostavljenim oblicima, pomažu pri projektiranju zrakoplova i automobila, proučavanju protoka krvi, projektiranju elektrana, analizi onečišćenja i mnogim drugim problemima. Zajedno s Maxwellovim jednadžbama mogu se koristiti za modeliranje i proučavanje magnetohidrodinamike.

Matematički su vrlo komplicirane. Čine sustav nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koji u općem smislu, za proizvoljne početne i rubne uvjete nema analitičkog rješenja. Jednadžbe se mogu rješiti samo numeričkim metodama, ali i tamo stabilnost i konvergencija rješenja nije sigurna za proizvoljne početne uvjete. Štoviše, matematički insitut Clay nudi nagradu od milijun dolara onome tko pokaže da glatka rješenja uvijek postoje u tri dimenzije. To je jedan od sedam milenijskih problema u matematici.

Opće jednadžbe mehanike kontinuuma

Navier–Stokesove jednadžbe se izvode pomoću Cauchyevih jednadžbi očuvanja količine gibanja

$\frac{\mathrm{D}𝐮}{\mathrm{D}t}=\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\sigma }+𝐠$

Lijeva strana tu predstavlja materijalnu derivaciju vektora brzine $𝐮$, $\rho$ predstavlja gustoću fluida,$\mathrm{\nabla }$ je Hamiltonov operator, $\mathit{\sigma }$ je Cauchyev tenzor naprezanja, a $𝐠$ gravitacijsko ubrzanje.

Materijalna derivacija je nelinearni operator i definira se kao

$\frac{D}{Dt}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{\partial }{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }$

Zakon očuvanja mase

Općenito se zakoni očuvanja u fizici opisuju diferencijalnom jednadžbom kontinuiteta

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣=0$

Tu je$\mathrm{\nabla }\cdot$ divergencija polja, $\rho$ gustoća, $𝐣$ je tok gustoće $(𝐣=\rho 𝐮)$, a $t$ vrijeme.

U primjeru strujanja fluida zakon očuvanja mase glasi:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho 𝐮)=0$.

Nestlačivi fluidi

Tekućine su vrlo nestlačive tvari, a za plinove koji se gibaju puno sporije od Machove brzine, također se uzima hipoteza nestlačivosti. Za njih se može uzeti da je $\rho =konst.$ pa jednadžba kontinuiteta prelazi u oblik

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮=0$

odnosno, takvo strujanje opisano je solenoidalnim vektorskim poljem brzinā $𝐮$.

Navier-Stokesove jednadžbe

Navier-Stokesove jednadžbe najčešće se zapisuju u sljedećem obliku i čine sustav parcijalnih diferencijalnih jednadžbi

$\rho (\frac{\partial 𝐮}{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }𝐮)=-\mathrm{\nabla }p+\mu {\mathrm{\nabla }}^2𝐮+\rho 𝐟$

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮=0$

Prva jednadžba predstavlja zakon očuvanja količine gibanja i može se rastaviti u tri skalarne parcijalne diferencijalne jednadžbe. Te jednadžbe onda čine sustav od 4 parcijalne diferencijalne jednadžbe s četri nepoznanice, 4 skalarna polja: iznos brzine u smjerovima x, y i z te skalarano polje tlaka $p$.

U gornjoj jednadžbi $\mu$ predstavlja viskoznost, a $𝐟$ masenu silu.Predložak:Pojasniti

Prva gornja jednadžba se također može shvatiti kao drugi Newtonov zakon, gdje na lijevoj strani stoji masa (gustoća) puta akceleracija (derivacija brzine po vremenu), a na desnoj sve sile koje utječu na česticu fluida koju promatramo.

Analitički oblik rješenja za opći slučaj ne postoji.