Algebra skupova

Algebra skupovaPredložak:Efn neprazna je sveukupnost podskupova nekoga skupa $\mathrm{\Omega }$ zatvorena u odnosu na konačan broj operacija na njima.

Formalno, Familija $𝒜$ podskupova od $\mathrm{\Omega }$ ($𝒜$ $\subseteq 𝒫(\mathrm{\Omega })$ jest algebra skupova (na $\mathrm{\Omega }$) ili, kraće, algebra, ako vrijede sljedeća tri svojstva:

• (A1) $\mathrm{\varnothing }\in 𝒜$,
• (A2) $A,B\in 𝒜⟹A\cup B\in 𝒜$,
• (A3) $A\in 𝒜⟹A^{𝖼}\in 𝒜$ (zatvorenost na komplementiranje), gdje je $A^{𝖼}=\mathrm{\Omega }\setminus A$.

Direktne posljedice ove definicije su te da je:

• $\mathrm{\Omega }\in 𝒜$,
• $A,B\in 𝒜⟹A\cap B\in 𝒜$ te
• $A,B\in 𝒜⟹A\setminus B\in 𝒜$.
• Konačno, indukcijom se dobije da iz zatvorenosti na dvočlane unije i presjeke redom slijedi zatvorenost na konačne unije i presjeke, odnosno da za $n\in \mathbb{N}$ iz $A_1,...,A_n\in 𝒜$ slijedi

$\bigcup _{i=1}^n{A}_i\in 𝒜$ i slično $\bigcap _{i=1}^n{A}_i\in 𝒜$.

Primjeri

»Najmanja« i »najveća« algebra (u smislu inkluzije) na $\mathrm{\Omega }$ jest $\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega }\}$, odnosno $𝒫(\mathrm{\Omega })$. Te algebre nazivamo trivijalnim. Također, za proizvoljan $A\subseteq \mathrm{\Omega }$ familija $\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega },A,A^{𝖼}\}$ je algebra. Primjer familije koja nije algebra za, recimo, $\mathrm{\Omega }=\{1,2\}$ jest $\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega },\{1\}\}$ jer ne sadrži $\{1{\}}^{𝖼}=\{2\}$.

Nešto složeniji primjer algebre je $𝒜=\{A\text{konačan ili}{A}^{𝖼}\text{konačan}\}$. Naime, valja provjeriti tri definirajuća svojstva algebre:

• $\mathrm{\varnothing }\in 𝒜$ jer je prazan skup $\mathrm{\varnothing }$ konačan.
• $A,B\in 𝒜$. Tvrdimo da je tada $A\cup B\in 𝒜$. Postoje četiri mogućnosti:

$A,B$ konačni. Tada je $A\cup B$ konačan skup pa je $A\cup B\in 𝒜$.

$A$ konačan, $B^{𝖼}$ konačan. Tada je $(A\cup B{)}^{𝖼}=A^{𝖼}\cap B^{𝖼}\subseteq B^{𝖼}$ konačan pa je zaista $A\cup B\in 𝒜$. Analogno se provjere slučajevi kada je $A^{𝖼}$ konačan i $B$ konačan, odnosno kada je $A^{𝖼}$ konačan i $B^{𝖼}$ konačan.

• Za $A\in 𝒜$ vrijedi $A^{𝖼}\in 𝒜$, što se lako provjeri.

Općeniti slučaj: $\sigma$-algebra

Neka je $\mathrm{\Omega }\ne \mathrm{\varnothing }$ i neka je $ℱ\subseteq 𝒫(\mathrm{\Omega })$. Kažemo da je $ℱ$ $\sigma$-algebra skupova (kraće, $\sigma$-algebra) ako vrijede sljedeća tri svojstva:

• (F1) $\mathrm{\varnothing }\in ℱ$-algebra,
• (F2) Za niz $(A_n)$ u $ℱ$ vrijedi $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in ℱ$ (zatvorenost na prebrojive unije),
• (F3) Za $A\in ℱ$ vrijedi $A^{𝖼}\in ℱ$.

Treba uočiti da zatvorenost na prebrojive unije povlači zatvorenost na dvočlane unije pa je svaka $\sigma$-algebra ujedno i algebra, dok obrat ne vrijedi. Gore je dokazano da je $𝒜=\{A\subseteq ℝ|A\text{konačan ili}{A}^{𝖼}\text{konačan}\}$ algebra. Neka je $A_n:=\{n\}$ za $n\in \mathbb{N}$. Tada je očito $A_n\in 𝒜,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ (jer su svi $A_n$ konačni), ali $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}=\mathbb{N}\notin 𝒜$. Prema tome, svaka $\sigma$-algebra je algebra, ali općenito nije svaka algebra $\sigma$-algebra. Ipak, kada je $\mathrm{\Omega }$ konačan, tada se prebrojiva unija svodi na konačnu pa je u tom slučaju algebra ujedno i $\sigma$-algebra.

Slično kao prije, »najmanja« i »najveća« $\sigma$-algebra (u smislu inkluzije) na $\mathrm{\Omega }$ jest $\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega }\}$, odnosno $𝒫(\mathrm{\Omega })$. Također, za proizvoljan $A\subseteq \mathrm{\Omega }$ familija $\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega },A,A^{𝖼}\}$ je $\sigma$-algebra. Također, familija $ℱ=\{A\subseteq ℝ|A\text{prebrojiv ili}{A}^{𝖼}\text{prebrojiv}\}$ je $\sigma$-algebra.

Generirana $\sigma$-algebra

Za proizvoljnu familiju $𝒞\subseteq 𝒫(\mathrm{\Omega })$ definiramo $\sigma$-algebru generiranu s $𝒞$ kao $\sigma (𝒞)=\bigcap _{𝒞\subseteq ℱ\sigma \text{-algebra}}ℱ$. Dakle, $\sigma (𝒞)$ je presjek svih $\sigma$-algebri koje sadrže $𝒞$ kao svoj podskup. Lako se dokaže da je $\sigma (𝒞)$ dobro definirana te da vrijedi $𝒞\subseteq \sigma (𝒞)$, $\sigma (𝒞)\subseteq 𝒢$ za svaku $\sigma$-algebru $𝒢$ koja sadrži $𝒞$. Dakle, $\sigma (𝒞)$ je, u smislu podskupovnosti, »najmanja« $\sigma$-algebra na $\mathrm{\Omega }$ koja sadrži $𝒞$.