Weierstrassov teorem o uniformnoj konvergenciji reda funkcija

Weierstrassov teorem o uniformnoj konvergenciji reda funkcija je teorem u matematičkoj analizi koji služi za određivanje je li beskonačni red apsolutno i uniformno konvergentan.

Odnosi se na one redove čiji su članovi ograničene funkcije. Teorem je nazvan po velikom njemačkom matematičaru Karlu Weierstrassu.

Iskaz

Neka je $(f_k)$ niz redova funkcija definiranih na nekom skupu $E$ i neka postoji niz nenegativnih brojeva $a_k$ takvih da red $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ konvergira i $|f_k(x)|\le a_k$ vrijedi za sve $k\ge 1$ i za sve $x\in E$, tada red $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k$ konvergira apsolutno i uniformno na $E$.

Dokaz

Prema teoremu o uspoređivanju redova, red $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(x)$ apsolutno konvergira za svaki $x\in E$. Neka je $f(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(x),S_n(x)=\sum _{k=1}^n{f}_k(x)$ te $A=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k,{\tau }_n=\sum _{k=1}^n{a}_k.$

Ako je $|f_k(x)|\le a_k$, za $k>n_1$ i sve $x\in E$, tada za sve $m,n\in \mathbb{N}(m>n>n_1)$ i za svaki $x\in E$ imamo $|\sum _{k=n+1}^m{f}_k(x)|\le \sum _{k=n+1}^m|fk(x)|\le \sum _{k=n+1}^m{a}_k={\tau }_m-{\tau }_n.$

Odavde, pri $m\to \mathrm{\infty }$, za svaki $x\in E$ imamo $|f(x)-S_n(x)|<A-{\tau }_n\to 0,(n\to \mathrm{\infty }).$

To znači da za svaki $ϵ>0$ postoji $n_0\in \mathbb{N}$ takav da za svaki $x\in E$ vrijedi $(n>n0)⟹|f(x)-S_n(x)|<ϵ$, što znači da red $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k$ uniformno konvergira na $E$, što je i trebalo pokazati.