Legendreov simbol

Legendreov simbol je matematička oznaka koja se koristi u teoriji brojeva pri proučavanju kvadratnih ostataka.

Simbol je uveo znameniti francuski matematičar Adrien-Marie Legendre davne 1798., kada je pokušao dokazati Gaussov kvadratni zakon reciprociteta. Zanimljivo je da se Jacobijev i Kroneckerov simbol, odnosno poopćenje Legendreovog simbola na bilo koji neparni broj, javljaju nešto kasnije.

Legendreov simbol zapisujemo kao $\left(\frac{a}{p}\right)$. Vrijednosti koje poprima su $1,-1,0$, ovisno o cijelom broju $a$ i neparnom prostom broju $p$ te o tome je li $a$ kvadratni ostatak moudulo p ili nije.

Preciznije,

$\left(\frac{a}{p}\right)=\{\begin{array}{cc}1& \text{ako je }a\text{ kvadratni ostatak modulo }p,\\ -1& \text{ako je }a\text{ kvadratni neostatak modulo }p,\\ 0& \text{ako je }a\equiv 0(\mathrm{mod}p).\end{array}$

U svojim je radovima Legendre definirao simbol na ovaj način:$\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}}(\mathrm{mod}p)\text{ te }\left(\frac{a}{p}\right)\in \{-1,0,1\}.$ No, prema Eulerovom kriteriju ove dvije definicije su posve ekvivalentne.

Osnovna svojstva

• Legendreov simbol je periodičan u gornjem argumentu: ako je a ≡ b (mod p), tada je

  $\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right).$

• Legendreov simbol je multiplikativna funkcija svojega gornjeg argumenta:

  $\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right).$

Na ovo se nadovezuje i čitav niz svojstava vezanih i uz gore spomenutu kvadratnu recipročnost.