Pitagorine trojke

Pitagorina trojka je naziv za uređenu trojku prirodnih brojeva $(x,y,z)$ gdje su $x$ i $y$ duljine kateta, a $z$ duljina hipotenuze nekog pravokutnog trokuta. Prema Pitagorinom poučku je $x^2+y^2=z^2$.

Ako su $x,y,z$ relativno prosti, onda kažemo da je $(x,y,z)$ primitivna Pitagorina trojka. Takav trokut sukladno tome nazivljemo primitivni Pitagorin trokut. Uočimo da iz $M(x,y,z)=1$ slijedi da je $M(x,y)=M(x,z)=M(y,z)=1$.

Poznato je da je francuski matematičar i pravnik Pierre de Fermat u svojim radovima u vezi Fermatovog posljednjeg teorema koristio tzv. metodu beskonačnog spusta. U tim se radovima bavio i Pitagorinim trojkama jer su one zapravo rješenje Fermatove jednadžbe $x^n+y^n=z^n$ za slučaj n = 2.

Euklidova formula

Euklidova formula je teorem koji daje jednostavnu formulu kojom se mogu generirati sve Pitagorine trojke. Teorem kaže da su sve Pitagorine trojke $(x,y,z)$ u kojima je $x$ paran, dane formulama $x=2mn,y=m^2-n^2,z=m^2+n^2$, gdje je $m>n$ i $m,n$ relativno prosti prirodni brojevi različite parnosti.

Dokaz. Pretpostavimo da imamo primitivnu Pitagorinu trojku sa stranicama $x,y,z$. Tada je $M(x,y,z)=1$ i vrijedi $x^2+y^2=z^2$ (1). (Trebaju biti sva tri međusobno relativno prosta jer da je npr. $M(x,y)=d>1$ iz (1) slijedilo bi da $d|z$.) Jasno je da ne mogu sva tri broja $x,y,z$ biti neparna, a očito ne može biti više od jednog parnog jer bi tada $x,y,z$ ne bi bili relativno prosti. Dakle, jedan od $x,y,z$ mora biti paran. Dokazat ćemo da je $z$ neparan. Naime, kada bi $z=2n$ bio paran, tada bi $x=2n_1+1,y=2n_2+1$ trebali biti neparni. No, onda bi iz (1) slijedilo da je lijeva strana jednakosti daje ostatak 2, a desna ostatak 0 pri dijeljenju s 4, što je kontradikcija. Dakle, $z$ je neparan te su $x,y$ različite parnosti.

Sada bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je $x$ paran. Zapišimo (1) u obliku $x^2=(z-y)(z+y)$ (2), gdje su $z-y,z+y$ oba parni, jer su očito iste parnosti, a na lijevoj strani je paran broj. Dakle, postoje $a,b,c\in \mathbb{N}$ takvi da $x=2u,z-y=2v,z+y=2w$. Uvrštavanjem u (2) dobije se $u^2=vw$. Pokažimo sada da su $v,w$ također relativno prosti. Kako $M(v,w)$ dijeli oba $v+w=z,v-w=y$ slijedi $M(v,w)|M(y,z)=1$ pa je $M(v,w)=1$. Odmah se vidi da, zbog toga što je $u^2=vw$ prema Osnovnom stavku aritmetike slijedi da su oba $v,w$ potpuni kvadrati pa postoje $m>m,m,n\in \mathbb{N}$ takvi da je $v=m^2,w=n^2$. Kako je $M(v,w)=1$ slijedi da su i $m,n$ relativno prosti te odovuda slijedi $z=m^2+n^2,y=m^2-n^2$. Zbog toga što su $z,y$ oba neparni jasno je da su $m,n$ različite parnosti. Iz (1) dobivamo da je $x^2=(m^2+n^2{)}^2-(m^2-n^2{)}^2=2mn.$

Valjda još dokazati da je za bilo koja dva relativno prosta prirodna broja $m,n$ trojka $(2mn,m^2-n^2,m^2+n^2)$ zapravo primitivna Pitagorina trojka. Očito je da $(2mn{)}^2+(m^2-n^2{)}^2=(m^2+n^2{)}^2$ vrijedi, dakle treba još samo pokazati da je $M(2mn,m^2-n^2,m^2+n^2)=1$. Pretpostavimo da postoji $d>1$ takav da $d|2mn,d|m^2-n^2$. Kako je $m^2-n^2$ neparan vrijedi $d\ne 2k,k\in \mathbb{N}$ pa $d$ mora dijeliti točno jedan od $m,n$; neka BSO $d|m$. Tada $d|m^2-n^2,d|m^2$ pa $d|n^2$ iz čega je $d|n$, što je kontradikcija.

Ovime smo pokazali valjanost Euklidove formule, odnosno da su sve Pitagorine trojke dane identitetom $(2dmn{)}^2+(d(m^2-n^2){)}^2=(d(m^2+n^2){)}^2$ na skupu prirodnih brojeva.

Povezanost s kompleksnim brojevima

Neka je $z=x+yi,x,y\in \mathbb{N}$. Tada vrijedi $z^2=x^2-y^2+2xyi$.

Stavimo $|x^2-y^2|=a,2|xy|=b$ pa ćemo imati: $a^2+b^2=(x^2-y^2{)}^2+4x^2{y}^2=(x^2+y^2{)}^2=c^2.$

I sada iz jednakosti $a=|x^2-y^2|,b=2xy,c=x^2+y^2$ za svaki $x,y\in \mathbb{N},x\ne y$ dobijemo jednu Pitagorinu trojku brojeva.

Napomena o ekvivalenciji

Samo na temelju definicije Pitagorine trojke nije očito da će rješavanje jednadžbe $x^2+y^2=z^2$ u skupu prirodnih brojeva biti potpuno ekvivalentno traženju Pitagorinih trojki.

Naime, nije otklonjena mogućnost da ako je trojka $(x_0,y_0,z_0)$ za $x_0,y_0,z_0\in \mathbb{N}$ rješenje jednadžbe (1), da uistinu postoji pravokutan trokut sa stranicama $x_0,y_0,z_0$.

Da bismo dokazali da za svaku trojku koja je rješenje jednadžbe (1) postoji takav pravokutan trokut dovoljno je pokazati da za bilo koju takvu trojku $(x_0,y_0,z_0)$ vrijedi nejednakost trokuta, tj. da mora biti $x_0+y_0>z_0,x_0+z_0>y_0,y_0+z_0>x_0$ jer će tada biti moguće konstruirati pravokutan trokut sa stranicama $x_0,y_0,z_0$.

Treba uočiti da je jednadžba (1) ekvivalentna s $(x_0+y_0{)}^2-2x_0{y}_0={z_0}^2$ iz čega slijedi $(x_0+y_0{)}^2>{z_0}^2$ (jer je $2x_0{y}_0>0$) pa je očito $x_0+y_0>z_0.$ Analogno se pokazuju druge dvije nejednakosti.

Ovime je ekvivalencija dokazana, odnosno svaka trojka prirodnih brojeva $x_0,y_0,z_0$ koja zadovoljava $x^2+y^2=z^2$ je ujedino i jedna Pitagorina trojka.