Identitet Sophie Germain

Identitet Sophie Germain je jednakost u elementarnoj algebri kojega je koristila poznata francuska matematičarka Sophie Germain u svojim istraživanjima Posljednjeg Fermatovog teorema.

Identitet glasi:

$a^4+4b^4=((a+b{)}^2+b^2)((a-b{)}^2+b^2).$

Zanimljivo je da se ovaj identitet danas često koristi pri rješavanju matematičkih zadataka olimpijskog tipa iz područa elementarne algebre.

Izvod

Izraz $a^4+4b^4$ je jednak $(a^2{)}^2+(2b^2{)}^2+4a^2{b}^2-4a^2{b}^2$. Sada slijedi $a^4+4b^4=(a^2+2b^2{)}^2-(2ab{)}^2$, odnosno $a^4+4b^4=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)$ što konačno daje $((a+b{)}^2+b^2)((a-b{)}^2+b^2)$.