Descartesov list

Primjer Descartesovog lista

Descartesov list je ravninska algebarska krivulja trećeg reda u Kartezijevu koordinatnom sustavu koja je određena jednadžbom $x^3+y^3=3axy$. Ova krivulja u ishodištu koordinatnoga sustava ima čvornu točku koja za tangente ima koordinatne osi i asimptotu $y=-x-a$. Tjeme krivulje, tj. sjecište njena dva luka koja se vide na slici, ima koordinate $A(\frac{3}{2}a,\frac{3}{2}a)$, a površina je petlje kao i površina dijela ravnine između krivulje i asimptote $P=\frac{3}{2}{a}^2$.

Nazvana je prema slavnom francuskom matematičaru i filozofu Renéu Descartesu koji ju je proučavao 1638. i pronašao njezin oblik u I. kvadrantu, no pogrešno je mislio da se on ponavlja u ostala tri. Njezin točan oblik odredio je Huygens 1692. godine, odredivši pri tome i jednadžbu njene asimptote. Krivulja je postala poznata po svojoj povijesnoj ulozi u razvoju infinitezimalnog računa, a isto tako je Descartesov list povijesno važan i zbog činjenice da se u njegovim razmatranjima te krivulje prvi puta može vidjeti transformacija koordinata. Treba ju distinkcirati od tzv. Descartesovog ovala.

Zanimljivo je da je Descartes izazvao Pierra de Fermata da nađe tangentu krivulje u svakoj točki zbog toga što je baš u to vrijeme Fermat otkrio metodu za pronalaženje tangenti. Fermat je riješio problem bez teškoća, što se ne može reći za Descartesa. Inače, nagib tangente u svakoj točki danas se lako može izračunati implicitnom diferencijacijom.

Lako se dobije da je formula za nagib tangente u svakoj točki $\frac{dy}{dx}=\frac{ay-x^2}{y^2-ax}$.