Linearna funkcija

Funkcija je ovisnost među dvjema veličinama koje najčešće označavamo s $x$ i $y,$ a zapisujemo $y=f(x)$ ili $y$ je funkcija od $x.$ Oznaku $f(x)$ uveo je Leonhard Euler.

Veličinu $x$ nazivamo ulazna, a $y$ izlazna vrijednost. Napomenimo još da funkcija može biti zadana formulom, riječima, tablicom, grafom i dijagramom.

Ovdje ćemo se baviti linearnom funkcijom, tj. funkcijom oblika $f(x)=y=ax+b$ gdje su $a\ne 0,b$ realni brojevi. Broj $a$ naziva se koeficijentom smjera, a broj $b$ zovemo odsječkom na osi $y.$

Ako je $a>0$ linearna funkcija raste, a ako je $a<0$ funkcija pada. Dokažimo prvi dio tvrdnje. Uzmimo $x,x+h,h>0.$ Tada je $a(x+h)+b=ax+b+ah>ax+b$ (jer je $ah>0$), tj. $f(x+h)>f(x),$ što je i trebalo pokazati. Analogno se dokazuje za $a<0.$

Nagib

Neka su zadane dvije točke u Kartezijevom koordinatnom sustavu, $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2).$ Tada je nagib funkcije na intervalu $[x_1,x_2]$ određen kvocijentom $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{dy}{dx}.$ Kako funkciju gledamo slijeva nadesno, kažemo da vrijednost funkcije na krajnjim točkama toga intervala raste (kod ove funkcije rast/pad je konstantan) ako je nagib pozitivan, a ako je negativan kažemo da pada.

Konstantan nagib najvažnije je svojstvo linearne funkcije. Broj $a$ naziva se koeficijenom smjera ili nagibom pravca koji je graf linearne funkcije. Posebno, $\frac{d}{dx}f(x)=a,$ gdje je $f(x)=ax+b,\mathrm{\forall }a,b\in ℝ.$

Dokažimo da je njezin nagib konstantan, tj. da je njezin graf pravac.

Pretpostavimo da imamo f-ju $y=ax.$ Onda imamo točke $A(x_1,a{x}_1),B(x_2,a{x}_2)$ (uz $x_1\ne x_2$). Tada je nagib na intervalu $[x_1,x_2]$ jednak $\frac{a(x_2-x_1)}{x_2-x_1}\equiv a$ i tvrdnja je dokazana.

Isto tako je funkcija $y=ax+b$ pravac. Ako je $b>0$ graf se uzdiže za $b$ jediničnih vektora (jer je $y^{\prime }=y+b$), a ako je $b<0$ graf se spušta za $b$ jediničnih vektora (jer je $y^{\prime }=y-b).$

Slično, ako je $y=a(x-x_0)+b$ cijeli se graf pomiče za $x_0$ udesno ako je $x_0>0$), a ulijevo za $x_0$ ako je $x_0<0.$

Gornje se tvrdnje mogu dokazati i transformacijama koordinatnih osi.

Paralelnost i okomitost pravaca

Paralenost. Neka imamo $y=a_{1}x,y=a_{2}x.$ Očito je da su ta dva pravca jednaka ako i samo ako je $a_1=a_2.$ Analogno za bilo koju linearnu funkciju (zbog gore navedenih transformacija). Dakle, grafovi dviju funkcija $y=a_{1}x+b_1,y=a_{2}x+b_2$ su pravci koji su paralelni ako i samo ako vrijedi $a_1=a_2.$

Okomitost. Pretpostavimo da su pravci $y=a_{1}x,y=a_{2}x$. Uočimo pravokutni trokut dan vrhovima $(0,0),(x,0),(x,a_{1}x).$ I sada, rotiranjem svih ($\mathrm{\forall }x\in ℝ$) takvih trokuta za $90^{\circ }$ dobili smo ovaj drugi pravac. Dakle, vrijedi $a_2=-\frac{1}{a_1}.$ Opet, zbog gornjih transformacija, dva su pravca okomita ako i samo ako je $a_1\cdot a_2=-1.$

Napomenimo da je veza među transformacija grafa te paralelnosti i okomitosti pravaca sljedeća: vrijedi $p\parallel q$ ako i samo je $p^{\prime }\parallel q^{\prime }$ gdje su $p^{\prime },q^{\prime }$ pravci dobiveni redom translacijom pravaca $p,q.$ Analogno za $p\perp q.$

Kut između dvaju pravaca

Lako se dokaže da za kut $\phi$ između neka dva pravca $p_1,p_2$ vrijedi $\tan \phi =|\frac{k_2-k_1}{1+k_1\cdot k_2}|,$ gdje su redom $k_1,k_2$ nagibi pravaca $p_1,p_2.$

Zadanost i jednadžba pravca kroz dvije točke

Linearna funkcija može biti zadana parametrima $a,b,$ nagibom i nekom točkom ili dvjema točkama.

Pretpostavimo opet da imamo pravac $y=ax+b$ i dvije točke za koje je $y_1=a{x}_1+b,y_2=a{x}_2+b.$ Oduzimanjem druge jednadžbe od prve dobivamo $y-y_1=a(x-x_1),$ što pišemo kao $y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot (x-x_1).$

Eksplicitni i implicitni oblik

Valja spomenuti da jednadžba pravca može biti zadana u eksplicitnom ili implicitnom obliku. Prvi oblik je bilo koja jednadžba oblika $Ay+Bx+C=0,$ a drugi općenito jednadžba $y=-\frac{B}{A}x-\frac{C}{A}.$

Segmenti oblik jednadžbe pravca

Jednadžbu pravca možemo zapisati u ovome obliku: $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1,m,n\in ℝ.$ Ovaj se oblik jednadžbe pravca naziva segmentnim jer za $x=0$ dobivamo odsječak (segment) na osi $y$ i obrnuto. Zbog toga je površina ispod ili iznad grafa pravca omeđena koordinatnim osima jednaka $\frac{1}{2}|mn|.$

Nultočka linearne funkcije

Općenito, nultočka je svaka vrijednost neovisne varijable $x$ za koju je $f(x)=0.$

Dakle, nultočka linearne funkcije jednaka je $ax+b=0⟺x=-\frac{b}{a}.$