Radijvektor

Radijvektor $\overrightarrow{r}$ određuje položaj točke $\mathrm{P}$ u odnosu na pol $\mathrm{O}$. U Kartezijevom sustavu on se može prikazati pomoću projekcija točke na jedinične vektore osi ${\hat{e}}_x$, ${\hat{e}}_y$, ${\hat{e}}_z$ kao $\overrightarrow{r}=x{\hat{e}}_x+y{\hat{e}}_y+z{\hat{e}}_z$.

Radijvektor, radijusvektor, radijus-vektor ili vektor položaja je vektor $\overrightarrow{r}$ kojemu je vrh u promatranoj točki P, a početak u nekoj nepomičnoj zadanoj točki O (polu), obično ishodištu nekoga koordinatnog sustava. Uz nepomični pol svaka je točka određena svojim radijvektorom, pa se piše $\mathrm{P}(\overrightarrow{r})$. Ako je pol u ishodištu Kartezijeva sustava, koordinate radijvektora točke upravo su Kartezijeve koordinate te točke.

Formalno je svaki vektor klasa usmjerenih dužina koje se translacijom mogu dovesti jedna u drugu, što znači da imaju jednak smjer i duljinu, pa su radijvektori samo predstavnici svoje klase s početkom u odabranoj točki.

Primjena

U mehanici se jednadžbe gibanja čestica i tijela u prostoru iskazuju pomoću njihova vektora položaja $\overrightarrow{r}$ te njegovih derivacija, brzine

$\overrightarrow{v}=\dot{𝐫}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\overrightarrow{r}$

i ubrzanja

$\overrightarrow{a}=\ddot{𝐫}=\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}\overrightarrow{r}$.

Ovdje podebljani simboli, jednako kao i strelice, označavaju vektore, a točke iznad simbola prvu i drugu derivaciju po vremenu.

U fizici se Newtonov zakon u slučajevima kada sila nema jednostavnu ovisnost o koordinatama često piše kao diferencijalna jednadžba

$m\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}\overrightarrow{r}=\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r},\dot{\overrightarrow{r}},t)$

što je u Kartezijevom sustavu ekvivalentno trima jednadžbama za svaku od tri ortogonalne komponente radijvektora $\overrightarrow{r}=(x,y,z)$ i sile $\overrightarrow{F}=(F_x,F_y,F_z)$:

$m\ddot{x}=F_x(x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z},t)$

$m\ddot{y}=F_y(x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z},t)$

$m\ddot{z}=F_z(x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z},t)$.

Ovdje je općenito stavljeno da sila u svakom smjeru može ovisiti o svim koordinatama tijela te o svim komponentama njegove brzine.

Drugi Keplerov zakon

Radijvektor (vektor položaja) Sunce-planet opisuje u jednakim vremenskim razmacima jednake površine (plava površina). Zelena strelica prikazuje brzinu (vektor brzine). Ljubičasta strelica usmjerena prema Suncu prikazuje ubrzanje (ostale dvije ljubičaste strelice su komponente ubrzanja, jedna okomita i druga paralelna s brzinom.

Drugi Keplerov zakon glasi:

Radijvektor Sunce-planet opisuje u jednakim vremenskim razmacima jednake površine.

$dv$ je priraštaj kuta $v$ koji odgovara kratkom intervalu $dt$. Za to vrijeme radijvektor prebriše površinu:

$dp=\frac{r^2\pi }{2\pi }\cdot dv=\frac{1}{2}{r}^{2}dv$

($v$ u radijanima), jer, s obzirom na to da je priraštaj $dv$ vrlo malen, može se površina isječka elipse smatrati površinom isječka kruga s polumjerom $r$. Tako proizlazi:

$\frac{dp}{dt}=\frac{1}{2}{r}^2\cdot \frac{dv}{dt}$

Ova se veličina naziva površinskom brzinom. Prema drugom Keplerovu zakonu ona je konstantna pa se zakon može napisati kao

$r^2\cdot \frac{dv}{dt}=C$.