Vidi kôd stranice Trigonometrija

{{Wikiprojekt 10000/Ikona}}
[[Slika:Trigonometry - river width.svg|mini|300px|Trigonometrija je u početcima služila za određivanje duljina koje se nisu mogle izravno mjeriti.<ref name="AMK">{{Citiranje knjige |url=https://web.archive.org/web/20071104225720/http://baqaqi.chi.il.us/buecher/mathematics/trigonometry/index.html |chapter-url=https://web.archive.org/web/20080124102449/http://baqaqi.chi.il.us/buecher/mathematics/trigonometry/pages/kscan_00090001.html |first1=Alfred |last1=Monroe Kenyon |first2=Louis |last2=Ingold |title=Trigonometry |year=1914 |chapter=Introduction |publisher=The Macmillan Company |place=New York}}</ref> Širina rijeke može se odrediti mjereći udaljenost ''l'' od mjesta nasuprot nekom orijentiru do mjesta dalje niz rijeku i mjerenjem kuta koji novi pogled prema orijentiru zatvara s okomicom na obalu. Zbog sličnosti većeg trokuta i ''standardnog'' trokuta u označenom ''mjeraču kutova'' vrijedi ''l:w=a:b''. Omjer ''a:b'' u pravokutnom je trokutu ovisan samo o danom kutu α, a funkcije kuta jesu sinus α=''a'', kosinus α=''b'', odnosno tangens α=''a'':''b''.]]
'''Trigonometrija''' je grana [[Matematika|matematike]] koja je proistekla iz proučavanja odnosa između [[Kut|kutova]] i duljina stranica [[Trokut|trokuta]]. Pojavila se u [[Helenizam|helenizmu]] tijekom 3. stoljeća [[pr. n. e.]] u primjenama [[Geometrija|geometrije]] i [[Astronomija|astronomskim proučavanjima]].<ref>R. Nagel (ed.), ''Encyclopedia of Science'', 2nd Ed., The Gale Group (2002)</ref> Grci su se usredotočili na izračun duljina [[Tetiva (geometrija)|tetiva]] kružnice, dok su matematičari u [[Indija|Indiji]] izradili najstarije poznate tablice vrijednosti za trigonometrijske omjere, koji danas nose ime [[Trigonometrijske funkcije|''trigonometrijske funkcije'']].{{sfn|Boyer|1991|p=}} Te se funkcije mogu poopćiti i na kutove koji se ne mogu naći u trokutu i koje su periodične u skupu realnih brojeva pa se danas trigonometrija definira kao grana koja proučava poopćene trigonometrijske funkcije i bavi se njihovom upotrebom.<ref>{{Citiranje weba|date=2024-06-17|title=Trigonometry|url=https://www.britannica.com/science/trigonometry|url-status=live|access-date=2024-06-26|website=Encyclopædia Britannica|language=en}}</ref>

Ime trigonometrije dolazi od starogrčkih riječi τρίγωνον ''(trígōnon)'' za trokut i μέτρον ''(métron)'' za [[Mjerna veličina|mjeru]].<ref>{{Citiranje weba|title=Trigonometrija|url=https://hjp.znanje.hr/index.php?show=search_by_id&id=f19kUBl0|url-status=live|access-date=2024-01-16|website=Hrvatski jezični portal}}</ref>

Trigonometrija se kroz povijest primjenjivala u područjima kao što su [[geodezija]], [[Geodetsko mjerenje|zemljomjerstvo]], [[nebeska mehanika]] i [[navigacija]].<ref name="Hackley1853">{{Citiranje knjige|last=Charles William Hackley|url=https://books.google.com/books?id=Q4FTAAAAYAAJ|title=A treatise on trigonometry, plane and spherical: with its application to navigation and surveying, nautical and practical astronomy and geodesy, with logarithmic, trigonometrical, and nautical tables|publisher=G. P. Putnam|year=1853}}</ref> S pomoću trigonometrijskih funkcija mogle su se izraziti putanje u [[topništvo|topništvu]].<ref>{{Citiranje weba |url=https://www.britannica.com/science/trigonometry |title=Trigonometry: Application to science |website=Encyclopædia Britannica |first1=Raymond W. |last1=Barnard |first2=Eli |last2=Maor |date=2024-06-17}}</ref> Bez nje je nezamisliva današnja tehnologija, posebice digitalna grafika i digitalna analiza i sinteza zvuka.

Trigonometrija je poznata po brojnim ''trigonometrijskim jednakostima'' koje se upotrebljavaju za pretvorbu i pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza i [[rješavanje jednadžbi]].

== Povijest ==
[[Datoteka:Head_of_Hipparchus_(cropped).jpg|lijevo|mini|upright|[[Hiparh]], zaslužan za sastavljanje prve tablice trigonometrijskih vrijednosti, poznat je i kao ''otac trigonometrije''.{{Sfn|Boyer|1991}}]]
[[Sumer|Sumerski]] astronomi proučavali su mjerenje kutova koristeći podjelu kruga na 360 [[Stupanj (kut)|stupnjeva]].<ref>{{Citiranje knjige|last=Pimentel|first=Ric|url=https://books.google.com/books?id=WcJWDwAAQBAJ|title=Cambridge IGCSE Core Mathematics|last2=Wall|first2=Terry|publisher=Hachette UK|year=2018|isbn=978-1-5104-2058-8|edition=4th|page=275}} [https://books.google.com/books?id=WcJWDwAAQBAJ&pg=PA275 Extract of page 275]</ref> Oni, a poslije i [[Babilonija|Babilonci]], proučavali su omjere stranica [[Sličnost|sličnih]] trokuta i otkrili neka svojstva tih omjera, ali to nisu pretvorili u sustavnu metodu za pronalaženje stranica i kutova trokuta. Interpretacije podataka na ploči ''Plimpton 322'' iz oko 1900. godine pr. n. e. ukazuju na to da su Babilonci tada imali precizne seksagezimalne tablice sekansa.<ref>{{Citiranje časopisa|last=Mansfield|first=Daniel F.|last2=Wildberger|first2=N.J.|date=2017-11|title=Plimpton 322 is Babylonian exact sexagesimal trigonometry|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0315086017300691|journal=Historia Mathematica|language=en|volume=44|issue=4|pages=395–419|doi=10.1016/j.hm.2017.08.001|issn = 0315-0860}}</ref> [[Nubija|Drevni Nubijci]] imali su sličnu metodu.<ref>{{Citiranje knjige|last=Otto Neugebauer|url=https://books.google.com/books?id=vO5FCVIxz2YC&pg=PA744|title=A history of ancient mathematical astronomy. 1|publisher=Springer-Verlag|year=1975|isbn=978-3-540-06995-9|page=744}}</ref>

U 3. stoljeću [[pr. n. e.]] grčki matematičari poput [[Euklid|Euklida]] i [[Arhimed|Arhimeda]] proučavali su svojstva tetiva i [[Obodni kut|obodnih kutova]] kružnice te su dokazali teoreme koji su ekvivalentni modernim trigonometrijskim formulama, iako su ih prikazali geometrijski, a ne algebarski. [[Hiparh]] iz [[Nikeja|Nikeje]] u [[Mala Azija|Maloj Aziji]] dao je 140. godine pr. n. e. prve tablice za tetive, analogne suvremenim tablicama vrijednosti funkcije [[sinus]], i koristio ih za rješavanje problema u ravninskoj i sfernoj trigonometriji.{{Sfnp|Thurston|1996}} U 2. stoljeću [[Era|nove ere]] grčko-egipatski astronom [[Klaudije Ptolemej|Ptolemej]] iz [[Aleksandrija|Aleksandrije]] u [[Egipat|Egiptu]] konstruirao je detaljne trigonometrijske tablice u 1. knjizi svojega ''Almagesta''.<ref name="toomer">{{Citation|title=Ptolemy's Almagest|last=Toomer|first=G.|publisher=Princeton University Press|year=1998|isbn=978-0-691-00260-6}}</ref> Ptolemej je koristio duljinu tetive kružnice za definiranje svojih trigonometrijskih funkcija, što je slično današnjoj konvenciji za sinuse:{{Sfnp|Thurston|1996}} vrijednost za sin ϑ dobije se iz duljine tetive za dvostruki kut (2ϑ) u njegovoj tablici i dijeljenjem te vrijednosti s dva. Stoljeća su prošla prije nego što su izrađene detaljnije tablice, a Ptolemejev rad ostao je u upotrebi za izvođenje trigonometrijskih izračuna u astronomiji tijekom sljedećih 1200 godina, u srednjovjekovnom [[Bizant|bizantskom]], [[Islamsko zlatno doba|islamskom]], i  naposljetku u zapadnoeuropskom svijetu.

Moderna definicija funkcije ''sinus'' prvi je put potvrđena u sanskrtskom traktatu ''Sūrya Siddhānta'', a njezina je svojstva dodatno dokumentirao u 5. stoljeću [[Indijska matematika|indijski matematičar]] i astronom [[Aryabhata]].{{Sfn|Boyer|1991}} Grčka i indijska djela preveli su i proširili srednjovjekovni islamski matematičari. Godine 830. perzijski matematičar Habash al-Hasib al-Marwazi izradio je prvu tablicu [[Kotangens|kotangensa]].<ref name="Sesiano">Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 157, in {{Citiranje knjige|title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics|publisher=Springer Science+Business Media|year=2000|isbn=978-1-4020-0260-1|editor-last=Selin|editor-first=Helaine|editor-last2=D'Ambrosio|editor-first2=Ubiratan}}</ref><ref name="Britannica" /> Do 10. stoljeća nove ere perzijski matematičar Abū al-Wafā' al-Būzjānī upotrebio je svih šest [[Trigonometrijske funkcije|trigonometrijskih funkcija]].{{Sfn|Boyer|1991}} Abu al-Wafa imao je tablice sinusa u koracima od četvrtine stupnja (0,25°) s točnošću od 8 decimalnih mjesta i točne tablice vrijednosti tangensa.{{Sfn|Boyer|1991}} Također je uveo važne inovacije u sfernu trigonometriju.<ref name="musa">{{Citiranje časopisa|last=Moussa|first=Ali|year=2011|title=Mathematical Methods in Abū al-Wafāʾ's Almagest and the Qibla Determinations|journal=Arabic Sciences and Philosophy|publisher=[[Cambridge University Press]]|volume=21|issue=1|pages=1–56|doi=10.1017/S095742391000007X}}</ref><ref>Gingerich, Owen. "Islamic astronomy." Scientific American 254.4 (1986): 74–83</ref><ref name="Willers2018">{{Citiranje knjige|last=Michael Willers|url=https://books.google.com/books?id=45R2DwAAQBAJ&pg=PA37|title=Armchair Algebra: Everything You Need to Know From Integers To Equations|date=13 February 2018|publisher=Book Sales|isbn=978-0-7858-3595-0|page=37}}</ref> [[Perzijanci|Perzijski]] [[polihistor]] [[Nasirudin Tusi]] smatra se tvorcem trigonometrije kao zasebne matematičke discipline,<ref>{{Citiranje weba|title=Nasir al-Din al-Tusi|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Tusi_Nasir/|access-date=2021-01-08|website=MacTutor History of Mathematics archive|quote=One of al-Tusi's most important mathematical contributions was the creation of trigonometry as a mathematical discipline in its own right rather than as just a tool for astronomical applications. In Treatise on the quadrilateral al-Tusi gave the first extant exposition of the whole system of plane and spherical trigonometry. This work is really the first in history on trigonometry as an independent branch of pure mathematics and the first in which all six cases for a right-angled spherical triangle are set forth.}}</ref><ref>{{Citiranje knjige|last=Berggren|first=J. L.|url=https://www.cambridge.org/core/books/the-cambridge-history-of-science/islamic-mathematics/4BF4D143150C0013552902EE270AF9C2|title=the cambridge history of science|date=October 2013|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521594486|volume=2|pages=62–83|chapter=Islamic Mathematics|doi=10.1017/CHO9780511974007.004}}</ref> neovisne o astronomiji, a razvio je i sfernu trigonometriju u njezin današnji oblik.<ref name="Britannica">{{Citiranje weba|title=trigonometry|url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/605281/trigonometry|access-date=2008-07-21|publisher=[[Encyclopædia Britannica]]}}</ref> Naveo je šest različitih slučajeva pravokutnog trokuta u sfernoj trigonometriji, otkrio poučak o sinusima za ravninske trokute i trokute na sferi i tangensni poučak za sferne trokute i dokazao ih.<ref>{{Citiranje knjige|last=Berggren|first=J. Lennart|title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook|publisher=Princeton University Press|year=2007|isbn=978-0-691-11485-9|page=518|chapter=Mathematics in Medieval Islam}}</ref> Znanje o trigonometrijskim funkcijama i metodama dospjelo je u [[Zapadna Europa|zapadnu Europu]] preko latinskih prijevoda Ptolemejeva grčkog ''Almagesta'' kao i djela [[Islamska astronomija|perzijskih i arapskih astronoma]] kao što su Al Battani i [[Nasirudin Tusi]].{{Sfn|Boyer|1991}} Jedno od najranijih djela o trigonometriji sjevernoeuropskog matematičara jest ''De Triangulis'' Nijemca [[Regiomontanus|Regiomontana]] iz 15. stoljeća, kojega je bizantski grčki učenjak kardinal [[Bazil Bessarion]] s kojim je živio potaknuo da piše i opskrbio ga primjerkom ''Almagesta''.<ref>{{Citiranje weba|title=Johann Müller Regiomontanus|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Regiomontanus/|access-date=2021-01-08|website=MacTutor History of Mathematics archive}}</ref> U isto vrijeme, drugi prijevod ''Almagesta'' s grčkog na latinski dovršio je  Krećanin George iz Trapezunda.<ref>N.G. Wilson (1992). ''From Byzantium to Italy. Greek Studies in the Italian Renaissance'', London. {{ISBN|0-7156-2418-0}}</ref> Trigonometrija je još uvijek bila toliko malo poznata u sjevernoj Europi 16. stoljeća da je [[Nikola Kopernik]] posvetio dva poglavlja knjige ''De revolutionibus orbium coelestium'' pojašnjavanju osnovnih pojmova.

Potaknuta potrebama [[Navigacija|navigacije]] i točnih karata velikih geografskih područja, trigonometrija je prerasla u glavnu granu matematike.<ref>{{Citiranje knjige|last=Grattan-Guinness|first=Ivor|title=The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences|publisher=W.W. Norton|year=1997|isbn=978-0-393-32030-5}}</ref> Bartholomaeus Pitiscus prvi je upotrijebio tu riječ, objavivši svoj rad ''Trigonometria'' 1595. godine.<ref>{{Citiranje knjige|last=Robert E. Krebs|url=https://books.google.com/books?id=MTXdplfiz-cC&pg=PA153|title=Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries of the Middle Ages and the Renaissance|publisher=Greenwood Publishing Group|year=2004|isbn=978-0-313-32433-8|page=153}}</ref> Gemma Frisius prvi je opisao metodu [[Triangulacija|triangulacije]] koja se i danas koristi u geodetskoj izmjeri. [[Leonhard Euler]]  uključio je [[Kompleksni broj|kompleksne brojeve]] u trigonometriju. Radovi škotskih matematičara [[James Gregory|Jamesa Gregoryja]] u 17. stoljeću i Colina Maclaurina u 18. stoljeću utjecali su na razvoj [[Trigonometrijski red|trigonometrijskih redova]].<ref>{{Citiranje knjige|last=Ewald|first=William Bragg|url=https://books.google.com/books?id=AcuF0w-Qg08C&pg=PA93|title=From Kant to Hilbert Volume 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics|date=2005-04-21|publisher=OUP Oxford|isbn=978-0-19-152309-0|page=93|language=en}}</ref> U 18. stoljeću Brook Taylor definirao je opći [[Taylorov red]].<ref>{{Citiranje knjige|last=Dempski|first=Kelly|url=https://books.google.com/books?id=zxdigX-KSZYC&pg=PA29|title=Focus on Curves and Surfaces|date=November 2002|publisher=Premier Press|isbn=978-1-59200-007-4|page=29|language=en}}</ref>

== Trigonometrijski omjeri ==
[[Datoteka:Trigonometrija - pravokutni trokut - hrvatski.svg|mini|280px|U ovom je pravokutnom trokutu [[Sinus|sin]] α=''a''/''h'', [[Kosinus|cos]] α=''b''/''h'', [[Tangens|tg]] α=''a''/''b''.]]
Trigonometrijski omjeri jesu omjeri duljina stranica pravokutnog trokuta. Ti omjeri ovise samo o jednom oštrom kutu pravokutnog trokuta jer su svaka dva pravokutna trokuta s istim oštrim kutom slična.<ref name="StewartRedlin2015">{{Citiranje knjige|last=James Stewart|url=https://books.google.com/books?id=uJqaBAAAQBAJ&pg=PA448|title=Algebra and Trigonometry|last2=Lothar Redlin|last3=Saleem Watson|date=16 January 2015|publisher=Cengage Learning|isbn=978-1-305-53703-3|page=448}}</ref>

Omjeri definiraju [[Funkcija (matematika)|funkcije]] toga kuta koje se nazivaju [[trigonometrijske funkcije]]. U nastavku ih prikazujemo kao funkcije poznatog kuta α ([[alfa]]) u vrhu A, uz oznake ''a'' za duljinu nasuprotne katete, ''b'' za duljinu priležeće katete i ''h'' za duljinu hipotenuze:

* '''Sinus kuta α'''  (oznaka: sin α) jest omjer duljina nasuprotne stranice i hipotenuze:

:: <math display="block">\sin \alpha=\frac{a}{h}</math>

* '''Kosinus''' '''kuta α''' (oznaka: cos α) jest omjer duljina priležeće katete i hipotenuze:

:: <math display="block">\cos \alpha=\frac{b}{h}.</math>

* '''Tangens kuta α''' (oznaka: tan α ili tg α) jest omjer duljina nasuprotne i priležeće katete:

:: <math display="block">\tan \alpha=\frac{a}{b}=\frac{a/h}{b/h}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}</math>

Hipotenuza je stranica nasuprot kutu od 90 stupnjeva u pravokutnom trokutu; to je najduža stranica trokuta i jedna od dviju stranica koje zatvaraju kut u vrhu A. '''Priležeća kateta''' jest druga stranica koja zatvara kut u vrhu A. '''Nasuprotna kateta''' jest stranica koja je nasuprot kutu u vrhu  A.

Recipročne vrijednosti tih omjera nazivaju se '''kosekans''' (csc), '''sekans''' (sec) i '''kotangens''' (cot ili ctg):

: <math display="block">\csc \alpha=\frac{1}{\sin \alpha}=\frac{h}{a}</math>

: <math display="block">\sec \alpha=\frac{1}{\cos \alpha}=\frac{h}{b}</math>

: <math display="block">\cot \alpha=\frac{1}{\tan \alpha}=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b}{a}</math>

Funkcije kosinus, kotangens i kosekans nazvane su tako jer su jednake sinusu, tangensu i sekansu komplementarnog kuta (β=90°–α), što se dodaje kao prefiks ''ko–'' u njihovu imenu.<ref name="JardineShell-Gellasch2011">{{Citiranje knjige|last=Dick Jardine|url=https://books.google.com/books?id=Aa_VmrWEdvEC&pg=PA182|title=Mathematical Time Capsules: Historical Modules for the Mathematics Classroom|last2=Amy Shell-Gellasch|publisher=MAA|year=2011|isbn=978-0-88385-984-1|page=182}}</ref>

Pomoću ovih funkcija mogu se riješiti gotovo sva pitanja o proizvoljnim trokutima upotrebom [[Sinusni poučak|sinusnog poučka]] i [[Kosinusni poučak|kosinusnog poučka]].<ref name="ForsethBurger2008">{{Citiranje knjige|last=Krystle Rose Forseth|url=https://books.google.com/books?id=nfwGEJaLlgsC&pg=PA218|title=Pre-Calculus For Dummies|last2=Christopher Burger|last3=Michelle Rose Gilman|last4=Deborah J. Rumsey|publisher=John Wiley & Sons|year=2008|isbn=978-0-470-16984-1|page=218}}</ref> Ti se poučci mogu upotrebljavati za izračunavanje preostalih kutova i stranica bilo kojeg trokuta čim su poznate duljine dviju stranica i kut među njima ili dva kuta i duljina stranice ili duljine svih triju stranica.

=== Jedinična kružnica i uobičajene trigonometrijske vrijednosti ===
[[Datoteka:Sin-cos-defn-I.png|desno|mini|280px|Sinus i kosinus kuta ϑ definirani su pomoću [[Jedinična kružnica|jedinične kružnice]].]]
Trigonometrijski omjeri mogu se prikazati pomoću [[Jedinična kružnica|jedinične kružnice]], što je kružnica radijusa 1 sa središtem u ishodištu ravnine.<ref name="CohenTheodore2009">{{Citiranje knjige|last=David Cohen|url=https://books.google.com/books?id=-ZXNfthUCOMC|title=Precalculus: A Problems-Oriented Approach, Enhanced Edition|last2=Lee B. Theodore|last3=David Sklar|date=17 July 2009|publisher=Cengage Learning|isbn=978-1-4390-4460-5}}</ref> U ovoj postavci promatrani kut ϑ zatvara apscisa koordinatnog sustava i zraka iz središta kružnice prema točki (''x,y'') na kružnici,  gdje je onda x=cos ϑ i y=sin ϑ.<ref name="CohenTheodore2009" /> Uz poznavanje vrijednosti funkcija za neke uobičajene kutove (30°, 45°) iz tog se prikaza mogu odrediti  vrijednosti kutova koji ih na neki način komplementiraju:<ref name="Kelley2002">{{Citiranje knjige|last=W. Michael Kelley|url=https://books.google.com/books?id=H-0L9Dxor6sC&pg=PA45|title=The Complete Idiot's Guide to Calculus|publisher=Alpha Books|year=2002|isbn=978-0-02-864365-6|page=45}}</ref>
{{Table alignment}}
{| class="wikitable defaultcenter"
!kut
!0
!<math>\pi/6</math>
!<math>\pi/4</math>
!<math>\pi/3</math>
!<math>\pi/2</math>
!<math>2\pi/3</math>
!<math>3\pi/4</math>
!<math>5\pi/6</math>
!<math>\pi</math>
|-
!
!0
!30°
!45°
!60°
!90°
!120°
!135°
!150°
!180°
|-
!sinus
|<math>0</math>
|<math>1/2</math>
|<math>\sqrt{2}/2</math>
|<math>\sqrt{3}/2</math>
|<math>1</math>
|<math>\sqrt{3}/2</math>
|<math>\sqrt{2}/2</math>
|<math>1/2</math>
|<math>0</math>
|-
!kosinus
|<math>1</math>
|<math>\sqrt{3}/2</math>
|<math>\sqrt{2}/2</math>
|<math>1/2</math>
|<math>0</math>
|<math>-1/2</math>
|<math>-\sqrt{2}/2</math>
|<math>-\sqrt{3}/2</math>
|<math>-1</math>
|-
!tangens
|<math>0</math>
|<math>\sqrt{3}/3</math>
|<math>1</math>
|<math>\sqrt{3}</math>
|—
|<math>-\sqrt{3}</math>
|<math>-1</math>
|<math>-\sqrt{3}/3</math>
|<math>0</math>
|-
!sekans
|<math>1</math>
|<math>2\sqrt{3}/3</math>
|<math>\sqrt{2}</math>
|<math>2</math>
|—
|<math>-2</math>
|<math>-\sqrt{2}</math>
|<math>-2\sqrt{3}/3</math>
|<math>-1</math>
|-
!kosekans
|—
|<math>2</math>
|<math>\sqrt{2}</math>
|<math>2\sqrt{3}/3</math>
|<math>1</math>
|<math>2\sqrt{3}/3</math>
|<math>\sqrt{2}</math>
|<math>2</math>
|—
|-
!kotangens
|—
|<math>\sqrt{3}</math>
|<math>1</math>
|<math>\sqrt{3}/3</math>
|<math>0</math>
|<math>-\sqrt{3}/3</math>
|<math>-1</math>
|<math>-\sqrt{3}</math>
|—
|}

== Trigonometrijske funkcije realne i kompleksne varijable ==
Koristeći se [[Jedinična kružnica|jediničnom kružnicom]] definicije trigonometrijskih omjera mogu se proširiti na sve realne brojeve<ref name="Olive2003">{{Citiranje knjige|last=Jenny Olive|url=https://books.google.com/books?id=_Ir7euRke_oC&pg=PA175|title=Maths: A Student's Survival Guide: A Self-Help Workbook for Science and Engineering Students|date=18 September 2003|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-01707-7|page=175}}</ref> u kojima su sinus i kosinus funkcije s periodom 2π (360°), a tangens i kotangens s periodom π (180°).

=== Grafovi trigonometrijskih funkcija ===
Sljedeća tablica prikazuje glavna svojstva grafova šest trigonometrijskih funkcija:<ref name="Attenborough2003">{{Citiranje knjige|last=Mary P Attenborough|url=https://books.google.com/books?id=CcwBLa1G8BUC&pg=PA418|title=Mathematics for Electrical Engineering and Computing|date=30 June 2003|publisher=Elsevier|isbn=978-0-08-047340-6|page=418}}</ref><ref name="LarsonEdwards2008">{{Citiranje knjige|last=Ron Larson|url=https://books.google.com/books?id=gR7nGg5_9xcC&pg=PA21|title=Calculus of a Single Variable|last2=Bruce H. Edwards|date=10 November 2008|publisher=Cengage Learning|isbn=978-0-547-20998-2|page=21}}</ref>
{| class="wikitable"
!funkcija
!period
!domena
!kodomena
!graf
|-
!sin
|<math>2\pi</math>
|<math>(-\infty,\infty)</math>
|<math>[-1,1]</math>
|[[Datoteka:Sine_one_period.svg|200x200px]]
|-
!cos
|<math>2\pi</math>
|<math>(-\infty,\infty)</math>
|<math>[-1,1]</math>
|[[Datoteka:Cosine_one_period.svg|200x200px]]
|-
!tg
|<math>\pi</math>
|<math>x \neq \pi/2+n\pi</math>
|<math>(-\infty,\infty)</math>
|[[Datoteka:Tangent-plot.svg|200x200px]]
|-
!sec
|<math>2\pi</math>
|<math>x \neq \pi/2 + n\pi</math>
|<math>(-\infty,-1] \cup [1,\infty)</math>
|[[Datoteka:Secant.svg|200x200px]]
|-
!cosec
|<math>2\pi</math>
|<math>x \neq n\pi</math>
|<math>(-\infty,-1] \cup [1,\infty)</math>
|[[Datoteka:Cosecant.svg|200x200px]]
|-
!ctg
|<math>\pi</math>
|<math>x \neq n\pi</math>
|<math>(-\infty,\infty)</math>
|[[Datoteka:Cotangent.svg|200x200px]]
|}

=== Inverzne trigonometrijske funkcije ===
Kako su glavne trigonometrijske funkcije periodične one nisu [[Injektivna funkcija|injektivne]] pa stoga nisu invertibilne, ali se ograničavanjem domene mogu učiniti invertibilnima.<ref name="BremiganBremigan2011">{{Citiranje knjige|last=Elizabeth G. Bremigan|url=https://books.google.com/books?id=OfFEC5drTVMC&pg=PR48|title=Mathematics for Secondary School Teachers|last2=Ralph J. Bremigan|last3=John D. Lorch|publisher=MAA|year=2011|isbn=978-0-88385-773-1}}</ref> {{Is|48ff}}

Nazivi inverznih trigonometrijskih funkcija, zajedno s njihovim domenama i rasponom, nalaze se u sljedećoj tablici:<ref name="BremiganBremigan2011"/> {{Is|48ff}}<ref name="BrokateManchanda2019">{{Citiranje knjige|last=Martin Brokate|url=https://books.google.com/books?id=7DenDwAAQBAJ&pg=PA521|title=Calculus for Scientists and Engineers|last2=Pammy Manchanda|last3=Abul Hasan Siddiqi|date=3 August 2019|publisher=Springer|isbn=9789811384646}}</ref> {{Is|521ff}}
{| class="wikitable defaultcenter"
!
!formula
!definicija
!domena
!raspon uobičajenih glavnih vrijednosti<br /><br /> ([[radijan]])
!raspon uobičajenih glavnih vrijednosti <br /><br /> ([[Stupanj (kut)|stupanj]])
|-
|'''arkus sinus'''
|''y'' = {{Matematika|arcsin(''x'')}}
|''x'' = {{Matematika|[[sinus|sin]](''y'')}}
|−1 ≤ ''x'' ≤ 1
|−π/2 ≤ ''y'' ≤ π/2
|−90° ≤ ''y'' ≤ 90°
|-
|'''arkus kosinus'''
|''y'' = {{Matematika|arccos(''x'')}}
|''x'' = {{Matematika|[[kosinus|cos]](''y'')}}
|−1 ≤ ''x'' ≤ 1
|0 ≤ ''y'' ≤ {{Pi}}
|0° ≤ ''y'' ≤ 180°
|-
|'''arkus tangens'''
|''y'' = {{Matematika|arctan(''x'')}}
|''x'' = {{Matematika|[[tangens|tan]](''y'')}}
|svi realni brojevi
|−π/2 < ''y'' < π/2
|−90° < ''y'' < 90°
|-
|'''arkus kotangens'''
|''y'' = {{Matematika|arccot(''x'')}}
|''x'' = {{Matematika|[[kotangens|cot]](''y'')}}
|svi realni brojevi
|0 < ''y'' < {{Pi}}
|0° < ''y'' < 180°
|-
|'''arkus sekans'''
|''y'' = {{Matematika|arcsec(''x'')}}
|''x'' = {{Matematika|[[sekans|sec]](''y'')}}
|''x'' ≤ −1 or 1 ≤ ''x''
|0 ≤ ''y'' < π/2 ili π/2 < ''y'' ≤ {{Pi}}
|0° ≤ ''y'' < 90° or 90° < ''y'' ≤ 180°
|-
|'''arkus kosekans'''
|''y'' = {{Matematika|arccsc(''x'')}}
|''x'' = {{Matematika|[[kosekans|csc]](''y'')}}
|''x'' ≤ −1 or 1 ≤ ''x''
|−π/2 ≤ ''y'' < 0 or 0 < ''y'' ≤ π/
|−90° ≤ ''y'' < 0° or 0° < ''y'' ≤ 90°
|-
|}

=== Prikaz u obliku reda ===
Kada se uzmu kao funkcije realne varijable, trigonometrijski omjeri mogu se prikazati zbrojem beskonačnog niza tj. redom potencija svoje bezdimenzijske varijable (npr. kuta izraženog u [[radijan]]ima). Na primjer, sinus i kosinus imaju sljedeće prikaze:<ref name="Lang2013">{{Citiranje knjige|last=Serge Lang|url=https://books.google.com/books?id=0qx3BQAAQBAJ&pg=PA63|title=Complex Analysis|date=14 March 2013|publisher=Springer|isbn=978-3-642-59273-7|page=63}}</ref>

: <math>
\begin{align}
\sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
\end{align}
</math>

: <math>
\begin{align}
\cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}.
\end{align}
</math>

Uskličnik u tim formulama označava vrijednost [[Faktorijel|faktorijela]].

Pomoću ovih definicija trigonometrijske funkcije mogu se definirati za [[Kompleksni broj|kompleksne brojeve]].<ref name="Alessio2015">{{Citiranje knjige|last=Silvia Maria Alessio|url=https://books.google.com/books?id=ja8vCwAAQBAJ&pg=PA339|title=Digital Signal Processing and Spectral Analysis for Scientists: Concepts and Applications|date=9 December 2015|publisher=Springer|isbn=978-3-319-25468-5|page=339}}</ref> Kada se eksponencijalnu funkciju poopći na skup kompleksnih brojeva, vrijedi i formula koju se naziva [[Eulerova formula|Eulerovom formulom]]:<ref name="Stillwell2010">{{Citiranje knjige|last=John Stillwell|url=https://books.google.com/books?id=3bE_AAAAQBAJ&pg=PA313|title=Mathematics and Its History|date=23 July 2010|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4419-6053-5|page=313}}</ref>

: <math>e^{x+iy} = e^x(\cos y + i \sin y).</math>

=== Izračunavanje trigonometrijskih funkcija ===
Trigonometrijske funkcije bile su jedan od prvih primjera upotrebe matematičkih tablica.<ref name="Campbell-KellyCampbell-Kelly2003">{{Citiranje knjige|last=Martin Campbell-Kelly|title=The History of Mathematical Tables: From Sumer to Spreadsheets|last2=Mary Croarken|last3=Raymond Flood|last4=Eleanor Robson|date=2 October 2003|publisher=OUP Oxford|isbn=978-0-19-850841-0}}</ref> One su se dugo nalazile u udžbenicima, a učenike se podučavalo kako nalaziti vrijednosti funkcija i interpolirati vrijednosti za kutove koji nisu bili navedeni u tablicama.<ref name="DonovanGimmestad1980">{{Citiranje knjige|last=George S. Donovan|url=https://books.google.com/books?id=zUruGK7TOTYC|title=Trigonometry with calculators|last2=Beverly Beyreuther Gimmestad|publisher=Prindle, Weber & Schmidt|year=1980|isbn=978-0-87150-284-1}}</ref> Poneki [[logaritamar]]i (šiberi) imali su posebne ljestvice za trigonometrijske funkcije.<ref name="Middlemiss1945">{{Citiranje knjige|last=Ross Raymond Middlemiss|url=https://books.google.com/books?id=OH0_AAAAYAAJ|title=Instructions for Post-trig and Mannheim-trig Slide Rules|publisher=Frederick Post Company|year=1945}}</ref>

Napredniji kalkulatori imali su tipke za izračun glavnih trigonometrijskih funkcija. Većina računalnih [[Programski jezik|programskih jezika]] ima biblioteke funkcija koje uključuju trigonometrijske funkcije.<ref>{{Citiranje knjige|last=Steven S. Skiena|url=https://books.google.com/books?id=dNoLBwAAQBAJ&pg=PA302|title=Programming Challenges: The Programming Contest Training Manual|last2=Miguel A. Revilla|date=18 April 2006|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-22081-9|page=302}}</ref> Hardverske jedinice s pomičnim zarezom ugrađene u mikroprocesore osobnih računala imaju ugrađene upute za izračun trigonometrijskih funkcija.<ref>{{Citiranje knjige|url=http://download.intel.com/products/processor/manual/325462.pdf|title=Intel® 64 and IA-32 Architectures Software Developer's Manual Combined Volumes: 1, 2A, 2B, 2C, 3A, 3B and 3C|publisher=Intel|year=2013}}</ref>

== Primjene ==

=== Astronomija ===
Stoljećima se sferna trigonometrija koristila za određivanje položaja Sunca, Mjeseca i zvijezda,<ref name="Gregory1816">{{Citiranje knjige|last=Olinthus Gregory|url=https://books.google.com/books?id=j3sAAAAAMAAJ|title=Elements of Plane and Spherical Trigonometry: With Their Applications to Heights and Distances Projections of the Sphere, Dialling, Astronomy, the Solution of Equations, and Geodesic Operations|publisher=Baldwin, Cradock, and Joy|year=1816}}</ref> predviđanje pomrčina i opisivanje [[planetarna putanja|orbita]] planeta.<ref>{{Citiranje časopisa|last=Neugebauer|first=Otto|year=1948|title=Mathematical methods in ancient astronomy|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=54|issue=11|pages=1013–1041|doi=10.1090/S0002-9904-1948-09089-9|doi-access=free}}</ref>

U moderno doba, tehnika [[Triangulacija|triangulacije]] koristi se u [[Astronomija|astronomiji]] za mjerenje udaljenosti do obližnjih zvijezda,<ref name="SeedsBackman2009">{{Citiranje knjige|last=Michael Seeds|url=https://books.google.com/books?id=DajpkyXS-NUC&pg=PT254|title=Astronomy: The Solar System and Beyond|last2=Dana Backman|date=5 January 2009|publisher=Cengage Learning|isbn=978-0-495-56203-0|page=254}}</ref> kao i u [[Globalni navigacijski satelitski sustavi|satelitskim navigacijskim sustavima]].<ref name="Willers2018"/>

=== Navigacija ===
[[Datoteka:Frieberger_drum_marine_sextant.jpg|mini|[[Sekstant]]i se koriste za mjerenje kuta Sunca ili zvijezda u odnosu na horizont. Pomoću trigonometrije i pomorskog kronometra iz mjerenja se može odrediti položaj broda.]]
Povijesno gledano, trigonometrija se koristila za određivanje zemljopisne širine i dužine jedrenjaka, iscrtavanje putanja i izračunavanje udaljenosti tijekom plovidbe.<ref name="Sabine1800">{{Citiranje knjige|last=John Sabine|url=https://books.google.com/books?id=d_9eAAAAcAAJ&pg=PR1|title=The Practical Mathematician, Containing Logarithms, Geometry, Trigonometry, Mensuration, Algebra, Navigation, Spherics and Natural Philosophy, Etc|date=1800|page=1}}</ref>

Trigonometrija se još uvijek koristi u navigaciji putem sredstava kao što su [[Global Positioning System|sustav globalnog pozicioniranja]] i [[umjetna inteligencija]] za autonomna vozila.

=== Geodetske izmjere ===
U [[Geodetsko mjerenje|zemljomjerstvu]], trigonometrija se koristi za izračunavanje duljina, površina i relativnih kutova između objekata.<ref name="Perkins1853">{{Citiranje knjige|last=George Roberts Perkins|url=https://archive.org/details/planetrigonometr00perk|title=Plane Trigonometry and Its Application to Mensuration and Land Surveying: Accompanied with All the Necessary Logarithmic and Trigonometric Tables|publisher=D. Appleton & Company|year=1853}}</ref>

Na većoj skali, trigonometrija se koristi u [[Geografija|geografiji]] za mjerenje udaljenosti između orijentira.(30°, 45°)<ref name="WithersLorimer2015">{{Citiranje knjige|last=Charles W. J. Withers|url=https://books.google.com/books?id=eidTTrsyTr4C&pg=PA6|title=Geographers: Biobibliographical Studies|last2=Hayden Lorimer|date=14 December 2015|publisher=A&C Black|isbn=978-1-4411-0785-5|page=6}}</ref>

=== Periodične funkcije ===
[[Datoteka:Fourier_series_and_transform.gif|desno|okvir| Funkcija <math>s(x)</math> (crveno) dobivena je kao zbroj šest sinusnih funkcija različitih amplituda i harmonijski povezanih frekvencija. Taj se zbroj naziva Fourierov red. 

Fourierova transformacija <math>S(f)</math> (plavo) koja prikazuje [[Amplituda|amplitudu]] u odnosu na [[Frekvencija|frekvenciju]] otkriva 6 frekvencija (''na neparnim harmonicima'') i njihove amplitude (''1/neparni broj'').

]]
Funkcije sinus i kosinus važne su za teoriju periodičnih funkcija,<ref name="MorscheBerg2003">{{Citiranje knjige|last=H. G. ter Morsche|url=https://books.google.com/books?id=frT5_rfyO4IC&pg=PA61|title=Fourier and Laplace Transforms|last2=J. C. van den Berg|last3=E. M. van de Vrie|date=7 August 2003|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-53441-3|page=61}}</ref> poput onih koje opisuju [[Zvuk|zvučne]] i [[Svjetlost|svjetlosne]] valove. [[Joseph Fourier|Fourier]] je otkrio da se svaka [[Neprekidnost funkcije|kontinuirana]] periodična funkcija može opisati kao [[Red (matematika)|zbroj beskonačnog niza]] trigonometrijskih funkcija.

Čak se i neperiodične funkcije mogu prikazati kao [[integral]] sinusa i kosinusa s pomoću [[Fourierova transformacija|Fourierove transformacije]]. Ona, među ostalim, ima primjenu u [[Kvantna mehanika|kvantnoj mehanici]]<ref name="Thaller2007">{{Citiranje knjige|last=Bernd Thaller|url=https://books.google.com/books?id=GOfjBwAAQBAJ&pg=PA15|title=Visual Quantum Mechanics: Selected Topics with Computer-Generated Animations of Quantum-Mechanical Phenomena|date=8 May 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-22770-2|page=15}}</ref> i [[Telekomunikacija|komunikacijama]].<ref name="Rahman2011">{{Citiranje knjige|last=M. Rahman|url=https://books.google.com/books?id=k_rdcKaUdr4C|title=Applications of Fourier Transforms to Generalized Functions|publisher=WIT Press|year=2011|isbn=978-1-84564-564-9}}</ref> 

=== Optika i akustika ===
Trigonometrija je korisna u mnogim fizičkim znanostima,<ref name="BornsteinInc1966">{{Citiranje knjige|last=Lawrence Bornstein|url=https://books.google.com/books?id=6I1GAAAAYAAJ|title=Trigonometry for the Physical Sciences|last2=Basic Systems, Inc|publisher=Appleton-Century-Crofts|year=1966}}</ref> uključujući [[Akustika|akustiku]]<ref name="SchillerWurster1988">{{Citiranje knjige|last=John J. Schiller|url=https://books.google.com/books?id=-CXYAAAAMAAJ|title=College Algebra and Trigonometry: Basics Through Precalculus|last2=Marie A. Wurster|publisher=Scott, Foresman|year=1988|isbn=978-0-673-18393-4}}</ref> i [[Optika|optiku]].<ref name="SchillerWurster1988" /> U tim se područjima koristi za opisivanje [[Zvuk|zvučnih]] i [[Elektromagnetsko zračenje|svjetlosnih valova]].<ref name="Towne2014">{{Citiranje knjige|last=Dudley H. Towne|url=https://books.google.com/books?id=uZgJCAAAQBAJ|title=Wave Phenomena|date=5 May 2014|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-14515-0}}</ref>

=== Ostale aplikacije ===
Polja koja koriste trigonometriju ili trigonometrijske funkcije uključuju [[Teorija glazbe|teoriju glazbe]],<ref name="HeinemanTarwater1992">{{Citiranje knjige|last=E. Richard Heineman|url=https://books.google.com/books?id=Hi7YAAAAMAAJ|title=Plane Trigonometry|last2=J. Dalton Tarwater|date=1 November 1992|publisher=McGraw-Hill|isbn=978-0-07-028187-5}}</ref> [[Geodezija|geodeziju]], [[Sintesajzer|audiosintezu]],<ref name="KahrsBrandenburg2006">{{Citiranje knjige|last=Mark Kahrs|url=https://books.google.com/books?id=UFwKBwAAQBAJ&pg=PA404|title=Applications of Digital Signal Processing to Audio and Acoustics|last2=Karlheinz Brandenburg|date=18 April 2006|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-306-47042-4|page=404}}</ref> [[Arhitektura|arhitekturu]],<ref name="WilliamsOstwald2015">{{Citiranje knjige|last=Kim Williams|url=https://books.google.com/books?id=fWKYBgAAQBAJ&pg=PA260|title=Architecture and Mathematics from Antiquity to the Future: Volume I: Antiquity to the 1500s|last2=Michael J. Ostwald|date=9 February 2015|publisher=Birkhäuser|isbn=978-3-319-00137-1|page=260}}</ref> [[Elektronika|elektroniku]],<ref name="HeinemanTarwater1992" /> [[Biologija|biologiju]],<ref name="Foulder2019">{{Citiranje knjige|last=Dan Foulder|url=https://books.google.com/books?id=teF6DwAAQBAJ&pg=PT78|title=Essential Skills for GCSE Biology|date=15 July 2019|publisher=Hodder Education|isbn=978-1-5104-6003-4|page=78}}</ref> medicinsko snimanje ( [[Računalna tomografija|CT skeniranje]] i [[ultrazvuk]]),<ref name="BeolchiKuhn1995">{{Citiranje knjige|last=Luciano Beolchi|url=https://books.google.com/books?id=HnRD08tDmlsC&pg=PA122|title=Medical Imaging: Analysis of Multimodality 2D/3D Images|last2=Michael H. Kuhn|publisher=IOS Press|year=1995|isbn=978-90-5199-210-6|page=122}}</ref> [[Kemija|kemiju]],<ref name="Ladd2014">{{Citiranje knjige|last=Marcus Frederick Charles Ladd|url=https://books.google.com/books?id=7L3DAgAAQBAJ&pg=PA13|title=Symmetry of Crystals and Molecules|publisher=Oxford University Press|year=2014|isbn=978-0-19-967088-8|page=13}}</ref> [[Teorija brojeva|teoriju brojeva]] (a time i [[Kriptografija|kriptografiju]]),<ref name="ArkhipovChubarikov2008">{{Citiranje knjige|last=Gennady I. Arkhipov|url=https://books.google.com/books?id=G8j4Kqw45jwC|title=Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis|last2=Vladimir N. Chubarikov|last3=Anatoly A. Karatsuba|date=22 August 2008|publisher=Walter de Gruyter|isbn=978-3-11-019798-3}}</ref> [[Seizmologija|seizmologiju]],<ref name="SchillerWurster1988"/> [[Meteorologija|meteorologiju]],<ref>{{Citiranje knjige|url=https://books.google.com/books?id=j-ow4TBWAbcC|title=Study Guide for the Course in Meteorological Mathematics: Latest Revision, Feb. 1, 1943|year=1943}}</ref> [[Oceanografija|oceanografiju]],<ref name="SearsMerriman1980">{{Citiranje knjige|last=Mary Sears|url=https://books.google.com/books?id=Z7dPAQAAIAAJ|title=Oceanography, the past|last2=Daniel Merriman|last3=Woods Hole Oceanographic Institution|publisher=Springer-Verlag|year=1980|isbn=978-0-387-90497-9}}</ref> kompresiju slika,<ref>{{Citiranje weba|date=1993|title=JPEG Standard (JPEG ISO/IEC 10918-1 ITU-T Recommendation T.81)|url=https://www.w3.org/Graphics/JPEG/itu-t81.pdf|access-date=6 April 2019|publisher=[[International Telecommunication Union]]}}</ref> [[Fonetika|fonetiku]],<ref name="Malmkjaer2009">{{Citiranje knjige|last=Kirsten Malmkjaer|url=https://books.google.com/books?id=O459AgAAQBAJ&pg=PA1|title=The Routledge Linguistics Encyclopedia|date=4 December 2009|publisher=Routledge|isbn=978-1-134-10371-3|page=1}}</ref> [[Ekonomska znanost|ekonomiju]],<ref name="Dadkhah2011">{{Citiranje knjige|last=Kamran Dadkhah|url=https://books.google.com/books?id=Z76b-TGhs9sC&pg=PA46|title=Foundations of Mathematical and Computational Economics|date=11 January 2011|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-642-13748-8|page=46}}</ref> [[Elektrotehnika|elektrotehniku]], [[strojarstvo]], [[građevinarstvo]],<ref name="HeinemanTarwater1992" /> [[Računalna grafika|računalnu grafiku]],<ref name="Griffith2012" /> [[Kartografija|kartografiju]],<ref name="HeinemanTarwater1992" /> [[Kristalografija|kristalografiju]]<ref name="Griffin1841">{{Citiranje knjige|last=John Joseph Griffin|url=https://archive.org/details/asystemcrystall03grifgoog|title=A System of Crystallography, with Its Application to Mineralogy|publisher=R. Griffin|year=1841|page=[https://archive.org/details/asystemcrystall03grifgoog/page/n157 119]}}</ref> i razvoj računalnih igara.<ref name="Griffith2012">{{Citiranje knjige|last=Christopher Griffith|url=https://archive.org/details/realworldflashga0000grif|title=Real-World Flash Game Development: How to Follow Best Practices AND Keep Your Sanity|date=12 November 2012|publisher=CRC Press|isbn=978-1-136-13702-0|page=[https://archive.org/details/realworldflashga0000grif/page/153 153]|url-access=registration}}</ref>

== Trigonometrijski identiteti ==
[[Datoteka:Triangle-notations.svg|mini|Trokut sa stranicama ''a'', ''b'', ''c'' i njima nasuprotnim vrhovima A, B, C u kojima su kutovi α, β, γ.]]
Trigonometrija je poznata po svojim brojnim identitetima, odnosno jednadžbama koje su istinite za sve moguće brojeve.<ref name="Dugopolski2002">{{Citiranje knjige|last=Dugopolski|url=https://books.google.com/books?id=_dXVeYx_kgoC|title=Trigonometry I/E Sup|date=July 2002|publisher=Addison Wesley|isbn=978-0-201-78666-8}}</ref>

Identiteti koji uključuju samo kutove poznati su kao ''trigonometrijski identiteti''. Druge jednadžbe, poznate kao ''identiteti trokuta'',<ref name="BOARD2015">{{Citiranje knjige|last=V&S EDITORIAL BOARD|url=https://books.google.com/books?id=TJQ3DwAAQBAJ&pg=PA288|title=CONCISE DICTIONARY OF MATHEMATICS|date=6 January 2015|publisher=V&S Publishers|isbn=978-93-5057-414-0|page=288}}</ref> povezuju stranice i kutove danog trokuta.

=== Identiteti trokuta ===
U sljedećim identitetima α, β, γ jesu kutovi u vrhovima trokuta A, B, C, dok su ''a'', ''b'' i ''c'' duljine tim vrhovima nasuprotnih stranica.

==== Sinusni poučak ====
'''[[Sinusni poučak]]''' za proizvoljan trokut izražava se formulama<ref name="Young2010">{{Citiranje knjige|last=Cynthia Y. Young|url=https://books.google.com/books?id=9HRLAn326zEC&pg=PA435|title=Precalculus|date=19 January 2010|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-75684-2|page=435}}</ref>

: <math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R = \frac{abc}{2P}</math>

gdje <math>P</math> je površina trokuta, a ''R'' je polumjer trokutu opisane kružnice:

: <math>R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}.</math>

==== Kosinusni poučak ====
'''[[Kosinusni poučak]]''' proširenje je [[Pitagorin poučak|Pitagorina poučka]] na proizvoljne trokute:<ref name="Young2010"/>

: <math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma</math>

To se ponekad piše i kao

: <math>\cos \gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.</math>

==== Projekcijska formula ====
Duljina stranice trokuta može se dobiti kao zbroj projekcija drugih dviju stranica na nju, na primjer:<ref name="HE">{{Citiranje weba |url=https://www.enciklopedija.hr/clanak/trigonometrija |title=Trigonometrija |publisher=[[LZMK]] |website=Hrvatska enciklopedija}}</ref>

: <math>c = a \cos \beta + b \cos \alpha</math>

==== Površina trokuta ====
Ako su zadane dvije stranice ''a'' i ''b'' i kut između njih γ, površina trokuta dana je polovicom umnoška duljina stranica i sinusa tog kuta:<ref name="Young2010"/>

: <math>P = \frac{1}{2}a b\sin \gamma</math>

=== Trigonometrijski identiteti ===
Sljedeći trigonometrijski identitet povezan je s [[Pitagorin poučak|Pitagorinim poučkom]] i vrijedi za bilo koju vrijednost ''x'':<ref>{{Citiranje knjige|last=Peterson|first=John C.|url=https://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC|title=Technical Mathematics with Calculus|publisher=Cengage Learning|year=2004|isbn=978-0-7668-6189-3|edition=illustrated|page=856}} [https://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC&pg=PA856 Extract of page 856]</ref>

: <math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \ </math>

==== Eulerova formula ====
[[Eulerova formula]] <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math> daje sljedeće [[Matematička analiza|analitičke]] identitete za sinus, kosinus i tangens s pomoću broja ''[[E (matematička konstanta)|e]]'' i [[Imaginarna jedinica|imaginarne jedinice]] ''i'':

: <math>\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}, \qquad \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \qquad \tan x = \frac{i(e^{-ix} - e^{ix})}{e^{ix} + e^{-ix}}.</math>

==== Ostali trigonometrijski identiteti ====
Ostali često korišteni trigonometrijski identiteti uključuju identitete polukuta, identitete zbroja i razlike kutova te identitete umnožaka i zbroja.<ref name="StewartRedlin2015"/>

== Literatura ==
* {{Citiranje knjige|last=Boyer|first=Carl B.|title=A history of mathematics|date=1991|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-54397-8|edition=2|location=New York}}
* {{Citiranje knjige |last=Nielsen |first=Kaj L. |year=1966. |title=Logarithmic and Trigonometric Tables to Five Places |publisher=Barnes & Noble |edition=2}}
* {{Citiranje knjige|last=Thurston|first=Hugh A.|title=Early astronomy|date=1996|publisher=Springer|isbn=978-0-387-94822-5|edition=1. ed., 1. softcover printing|series=Springer study edition|location=New York Berlin Heidelberg}}

== Izvori ==
{{Izvori}}

== Vanjske poveznice ==
* [https://www.khanacademy.org/math/trigonometry Khan Academy: Trigonometrija]
* [https://web.archive.org/web/20071104225720/http://baqaqi.chi.il.us/buecher/mathematics/trigonometry/index.html Trigonometrija] Alfreda Monroea Kenyona i Louisa Ingolda iz 1914.
* [https://www.britannica.com/science/trigonometry Trigonometry] Encyclopædia Britannica

[[Kategorija:Trigonometrija]]