Vidi kôd stranice Teorem o ekstremnim vrijednostima

U [[Diferencijalni račun|diferencijalnom računu]], '''teorem o ekstremnim vrijednostima''' tvrdi da, ako je realna [[Funkcija (matematika)|funkcija]] ''f'' [[Neprekidnost funkcije|neprekidna]] na ograničenom segmentu ''[a, b]'', onda ona mora dosegnuti maksimum i minimum, svaki barem jednom. To jest, postoje brojevi ''c'' i ''d'' u ''[a, b]'' takvi da:

<math>f(c) \geq f(x) \geq f(d), \forall x \in [a, b]</math>.

Srodni teorem je '''teorem o ograničenosti''' koji kaže da je neprekidna funkcija ''f'' na segmentu ''[a, b]'' ograničena na tom segmentu. To jest, postoje realni brojevi ''m'' i ''M'' takvi da:

<math>m < f(x) < M, \forall x \in [a, b]</math>.

Teorem o ekstremnim vrijednostima obogaćuje teorem o ograničenosti govoreći da ne samo da je funkcija ograničena, nego u isto vrijeme dostiže svoju najmanju gornju među kao svoj maksimum i najveću donju među kao svoj minimum.

Teorem o ekstremnim vrijednostima se upotrebljava u dokazu [[Rolleov teorem|Rolleovog teorema]]. U formulaciji Karla Weierstrassa, taj teorem tvrdi da neprekidna funkcija iz nepraznog kompaktnog prostora u podskup [[Realni broj|realnih brojeva]] dostiže maksimum i minimum.

== Povijest ==

Teorem o ekstremnim vrijednostima je originalno dokazao [[Bernard Bolzano]] u 1830-ima u djelu ''Teorija funkcija'' ali je djelo ostalo neobjavljeno sve do 1930. Bolzanov dokaz sastojao se u pokazivanju da je [[Neprekidnost funkcije|neprekidna funkcija]] na segmentu ograničena, i tada da funkcija dostiže svoj minimum i maksimum. U oba dokaza se pojavljuje teorem koji je danas poznat pod nazivom [[Bolzano-Weierstrassov teorem]] (Rusknock i Kerr-Lawson 2005). Taj rezultat je otkrio kasnije [[Karl Weierstrass]] 1860. godine.

== Funkcije na koje se teorem ne može primijeniti ==

Sljedeći primjeri pokazuju zašto domena funkcije mora biti ograničeni segment da bi se teorem primijenio. Svaka od njih ne dostiže maksimum na danom intervalu.

* <math>f(x) = x</math> definirana na <math>[0, \infty)</math> nije ograničena odozgo.
* <math>f(x) = x/(1 + x)</math> definirana na <math>[0, \infty)</math> je ograničena ali ne dostiže svoju najmanju gornju među 1.
* <math>f(x) = 1/x</math> definirana na <math>(0, 1]</math> nije ograničena odozgo.
* <math>f(x) = 1 - x</math> definirana na <math>(0, 1]</math> je ograničena ali nikada ne dostiže svoju najmanju gornju među 1.

Definiranjem ''f(0) = 0'' u zadnja dva primjera pokazuje da oba teorema zahtijevaju neprekidnost na ''[a, b]''.

== Generalizacija na metričke i topološke prostore ==

U prelasku sa <math>\mathbb{R}</math> na općenite metričke i topološke prostore, prikladna generalizacija ograničenog segmenta je kompaktni skup. Skup ''K'' je kompaktan ako ima sljedeće svojstvo: iz svake kolekcije otvorenih skupova <math>U_{\alpha}</math> takve da je <math>K \subset \bigcup U_{\alpha}</math>, konačna podkolekcija <math>U_{\alpha_{1}}, ..., U_{\alpha_{n}}</math> može biti izabrana tako da <math>K \subset \bigcup_{i=1}^n U_{\alpha_i}</math>. To se naziva Heine-Borel svojstvo, i obično se izriče u kratko kao "svaki otvoreni pokrivač od ''K'' ima konačni podpokrivač." Heine-Borel teorem tvrdi da je podskup realnih brojeva kompaktan ako i samo ako je i zatvoren i ograničen.

Koncept neprekidne funkcije također se može poopćiti. Neka su dani topološki prostori ''V'', ''W'', funkcija <math>f: V \mapsto W</math> je neprekidna ako je za svaki otvoreni skup <math>U \subset W</math>, <math>f^{-1}(U) \subset V</math> također otvoren. S obzirom na te definicije, može se pokazati da neprekidna funkcija čuva kompaktnost.<ref>Rudin, Walter (1976). ''Principles of Mathematical Analysis''. New York: McGraw Hill. str. 89-90.</ref>

'''Teorem.''' Ako su <math>V, W</math> topološki prostori, <math>f:V\mapsto W</math> neprekidna funkcija, <math>K \subset V</math> je kompaktan, tada je i <math>f(K) \subset W</math> isto kompaktan.

Posebno, ako je <math>W = \mathbb{R}</math> tada taj teorem implicira da je <math>f(K)</math> zatvoren i ograničen za svaki kompaktni skup <math>K</math>, što opet implicira da <math>f</math> dostiže svoj [[supremum i infimum]] na svakom (nepraznom) kompaktnom skupu <math>K</math>. Prema tome, imamo sljedeću generalizaciju teorema o ekstremnoj vrijednosti:

'''Teorem''' Ako je <math>K</math> kompaktni skup i <math>f: K \mapsto \mathbb{R}</math> neprekidna funkcija, tada je <math>f</math> ograničena i postoje
<math>p, q \in K</math> takvi da <math>f(p)=\sup_{x \in K}f(x)</math> i <math>f(q) = \inf_{x \in K}f(x)</math>.

== Izvori ==
{{izvori}}

[[Kategorija: Matematička analiza]]
[[Kategorija: Matematički poučci]]