Vidi kôd stranice Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori

{{Wikiprojekt 10000/Ikona}}
[[Datoteka:Mona_Lisa_eigenvector_grid.png|mini|320x320px|U prikazanoj posmičnoj transformaciji plava strelica ostaje na mjestu, dok crvena strelica mijenja smjer. Plava strelica je svojstveni vektor preslikavanja; budući da je duljina vektora nepromijenjena, vlastita vrijednost je 1.]]
U [[Linearna algebra|linearnoj algebri]], '''svojstveni vektor''' ili '''vlastiti vektor''' [[Linearni operator|linearnog operatora]] [[Vektorski prostor|vektor]] je koji se u transformaciji mijenja samo za skalarni faktor koji se zove '''svojstvena''' ili '''vlastita vrijednost''' operatora pridružena tom svojstvenom vektoru.<ref name="Bakić">{{Citiranje rada |url=https://web.math.pmf.unizg.hr/~bakic/la/linearna_algebra_sk_7.pdf |url-status=live |format=PDF |type=skripta |publisher=Prirodoslovno-matematički fakultet Sveučilišta u Zagrebu |prezime=Bakić |ime=Nenad |naslov=Linearna algebra |archive-url=https://web.archive.org/web/20210724110736/https://web.math.pmf.unizg.hr/%7Ebakic/la/linearna_algebra_sk_7.pdf |archive-date=2021-07-24}}</ref><ref>{{Citiranje rada |last=Kraljević |first=Hrvoje |year=2007 |title=Vektorski prostori |url=https://web.math.pmf.unizg.hr/~hrk/nastava/2007-08/vektorski_Osijek_2007_8.pdf |url-status=bot: unknown |type=skripta |publisher=Prirodoslovno-matematički fakultet Sveučilišta u Zagrebu |access-date=2021-07-02 |journal= |archive-date=7. studenoga 2020. |archive-url=https://web.archive.org/web/20201107184943/https://web.math.pmf.unizg.hr/~hrk/nastava/2007-08/vektorski_Osijek_2007_8.pdf }}</ref> Skup svih svojstvenih vrijednosti linearnog operatora naziva se spektar.<ref name="Franušić i Šiftar">{{Citiranje weba |last=Franušić |first=Zrinka |last2=Šiftar |first2=Juraj |date=2021-01-28 |title=Linearna algebra 2: skripta za nastavničke studije na PMF-MO |url=https://web.math.pmf.unizg.hr/~fran/predavanja-LA2.pdf |url-status=live |publisher=Prirodoslovno-matematički fakultet u Zagrebu |format=PDF}}</ref>

Formalno, ako je <math>O</math> linearni operator u [[Vektorski prostor|vektorskom prostoru]] <math>V</math> nad [[Polje (matematika)|poljem]] <math>F</math>, skalar <math>\lambda
</math> iz <math>F</math> je svojstvena vrijednost, a vektor <math>\mathbf{v}</math> (različit od nulvektora) svojstveni vektor operatora ako je rezultat djelovanja operatora na <math>\mathbf{v}</math> isti taj vektor pomnožen s <math>\lambda</math>:<ref name="Bakić" />

: <math>O(\mathbf{v})=\lambda \, \mathbf{v}</math>.

[[Geometrija|Geometrijski]] bi svojstveni vektor bio svaki onaj [[vektor]] koji pokazuje u smjeru u kojem linearna transformacija vektore rasteže po pravcu ali ih ne [[Rotacija|rotira]].

Kada se fiksira baza ''n''-dimenzionalnog vektorskog prostora, svaki se vektor može prikazati kao stupac <math>\mathbf{u}</math> s ''n'' redaka u kojima se nalaze koeficijenti [[Linearna kombinacija|linearne kombinacije]] vektora baze koja daje taj vektor. Svaki se operator može prikazati kao [[Matrica (matematika)|matrica]] <math>M</math> reda ''n''×''n'' čije je djelovanje na vektor dano njihovim umnoškom. Uvjet da je <math>\mathbf{v}</math> svojstveni vektor operatora <math>A</math> u matričnom zapisu glasi

: <math>M \mathbf{u} = \lambda\, \mathbf{u}</math>.

Zbog ove korespondencije u konačnodimanzionalnom vektorskom prostoru vlastite vrijednosti i vlastiti vektori mogu se definirati u jeziku teorije matrica ili u jeziku linearnih operatora i linearnih transformacija. 

Kada svojstveni vektori tvore bazu ''n''-dimenzionalnog vektorskog prostora, djelovanje operatora na bilo koji vektor jednostavno se prikazuje kao produkt dijagonalne matrice svojstvenih vrijednosti i vektora prikazanog u bazi svojstvenih vektora. Štoviše, kad god u takvom prostoru postoji ''n'' međusobno različitih svojstvenih vrijednosti linearnog operatora, skup pripadnih svojstvenih vektora je [[Linearna nezavisnost|linearno nezavisan]] i tvori bazu vektorskog prostora.<ref name="Joyce">{{Citiranje rada |title=Linear Algebra |url=https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/ma130/ |format=PDF |chapter=Diagonalizable operators and matrices |type=skripta |access-date=2021-07-25 |website=mathcs.clarku.edu |chapter-url=https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/ma130/diagonalize.pdf}}</ref> Za operator čiji je matrični zapis u bazi sastavljenoj od njegovih svojstvenih vektora dijagonalna matrica kaže se da je dijagonalizabilan.<ref name="Franušić i Šiftar" />

Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori važni su u analizi linearnih operatora. Izvorno su došli iz proučavanja glavnih osi [[Rotacija|rotacije]], a sada se naširoko primjenjuju u analizi [[stabilnost]]i, analizi [[Vibracije|vibracija]], proračunima [[Orbitale|atomskih orbitala]] i općenito u [[Kvantna mehanika|kvantnoj mehanici]], prepoznavanju lica i dijagonalizaciji matrica.

== Primjeri ==
[[Datoteka:Eigenvectors.gif|okvir|Matrica transformacije ''A''=<math>\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right]</math> čuva smjer ljubičastih vektora usporednih s '''v'''<nowiki/>'=[1 −1]<sup>T</sup> i plavih vektora usporednih s '''v'''<nowiki>''</nowiki>=[1 1]<sup>T</sup>. Crveni vektori nisu paralelni ni s jednim vlastitim vektorom, pa se njihov smjer transformacijom mijenja. Duljine ljubičastih vektora nepromijenjene su nakon transformacije (zbog vlastite vrijednosti 1), dok su plavi vektori tri puta duži od izvornika (zbog vlastite vrijednosti 3).]]
Linearne transformacije mogu se javiti u mnogo oblika, preslikavajući vektore u raznim apstraktnim vektorskim prostorima. Samim time i svojstveni vektori mogu poprimiti različite oblike.  

=== Linearna transformacija ravnine ===
Uzmimo za primjer linearnu transformaciju ravnine, ''A'', koja vektor <math>\vec v = v_x \vec\imath + v_y\vec\jmath</math> preslikava u <math>\vec w = (2v_x+v_y) \vec\imath + (v_x+2v_y)\vec\jmath</math>. 

U matričnom zapisu ovo je

: <math>\vec w \,\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\, A\,\vec v =\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_x  \\ v_y \end{bmatrix} </math>.

Traže se vektori i vrijednosti parametra <math>\lambda</math> za koje je <math>A\,\vec v = \lambda \vec v </math>, odnosno <math>(A-\lambda I) \vec v = 0 </math>, gdje je ''I'' jedinična matrica (matrica s jedinicama na dijagonali i nulama drugdje). Ova jednadžba imat će rješenja različita od nulvektora ako i samo ako je determinanta <math>|A-\lambda I| </math>, imena svojstveni ili [[karakteristični polinom]] operatora ''A'', jednaka nuli:

: <math>\begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}=\lambda^2 -4\lambda+3=0 </math>.

Iz jednadžbe slijedi da su svojstvene vrijednosti operatora <math>\lambda'=1</math> i <math>\lambda''=3</math>. Njima pripadni svojstveni vektori dobiju se rješavanjem sustava jednadžbi za komponente vektora, 

: <math>\begin{bmatrix} 2-\lambda^i & 1 \\ 1 & 2-\lambda^i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_x  \\ v_y \end{bmatrix}=0 </math>

za svaku od dobivenih svojstvenih vrijednosti. Ti vektori su <math>\vec v'= \vec \imath - \vec \jmath </math> i <math>\vec v''= \vec \imath + \vec \jmath </math> (uz sve ostale koje se dobiju njihovim skaliranjem). Uzme li se vektore za bazu, a oni su u ovom slučaju ortogonalni pa se i koordinatne osi [[Kartezijev koordinatni sustav|Kartezijevog sustava]] mogu usmjeriti po njima, matrica linearne transformacije ravnine postaje dijagonalna <math>\left[\begin{smallmatrix} \lambda' & 0\\ 0 & \lambda'' \end{smallmatrix}\right] = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0\\ 0 & 3 \end{smallmatrix}\right]</math>. Iz nje se odmah vidi da transformacija ravninu ''rasteže'' u smjeru vektora <math>\vec v'' </math> koji je simetrala 1. i 3. kvadranta originalnog koordinatnog sustava (prikazano na slici), a ne dira je u smjeru vektora <math>\vec v' </math> koji je simetrala 2. i 4. kvadranta. 

=== Operatori u prostoru funkcija ===
Linearna transformacija može biti i [[diferencijalni operator]] <math>\tfrac{d}{dx}</math> u prostoru funkcija pa su u tom slučaju svojstveni vektori funkcije koje se nazivaju svojstvenim funkcijama i koje se skaliraju tim diferencijalnim operatorom, na primjer ovako: 

: <math>\frac{d}{dx}f(x) = \lambda\cdot f(x)</math>.

Funkcije <math>e^{\lambda x}</math> svojstene su funkcije diferencijalnog operatora <math>\tfrac{d}{dx}</math> sa svojstvenim vrijednostima <math>\lambda</math> jer očito vrijedi

: <math>\frac{d}{dx}e^{\lambda x} = \lambda \, e^{\lambda x}</math>.

U primijenjenoj [[Matematika|matematici]] važan je [[Sturm–Liouvilleova teorija|Sturm–Liouvilleov problem]] u kojem se traže funkcije <math>f(x)</math> i parametri <math>\lambda</math> za koje postoje rješenja diferencijalne jednadžbe drugoga reda,

: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \!\!\left[\,p(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)\right] 
+ q(x)\,f(x) = -\lambda \, w(x)\,f(x)</math>

često podložna određenim rubnim uvjetima. Sturm-Liouvilleova teorija proučava uvjete postojanja, asimptotsko ponašanje i potpunost (u smislu baze vektorskog prostora) rješenja koja su svojstvene funkcije i svojstvene vrijednosti hermitskog diferencijalnog operatora u pogodnom prostoru funkcija.

U fizici se svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori pojavljuju u mnogim područjima, napose tamo gdje se rješavaju separabilne parcijalne diferencijalne jednadžbe. Vremenski neovisna [[Schrödingerova jednadžba]] u jednoj dimenziji Sturm–Liouvilleov je problem čije su svojstvene vrijednosti svojstvene (karakteristične) energije kvantnog sustava, a svojstveni vektori valne funkcije koje su za različite svojstvene vrijednosti međusobno ortogonalne — skalarni produkt definiran u Hilbertovom prostoru kvadratno integrabilnih funkcija za njih iščezava. U teoriji vibracija molekula i čvrstih tijela također se javljaju operatori čije vlastite vrijednosti određuju frekvencije takozvanih [[Normalni modovi|normalnih modova]] danog sustava; superpozicija normalnih modova koja odgovara početnim i rubnim uvjetima daje ukupno gibanje sustava, a sustav na pobudu najjače odgovara u blizini frekvencija čistih modova.<!-- == Dijagonalizacija == -->

== Povijest ==
<!-- s en.wiki -->
Prve ideje o svojstvenim vrijednostima pojavile su se u proučavanju [[Kvadratne forme|kvadratnih formi]] i [[Diferencijalne jednadžbe|diferencijalnih jednadžbi]].

U 18. stoljeću [[Leonhard Euler]] proučavao je rotacijsko gibanje [[Kruto tijelo|krutog tijela]] i otkrio važnost [[Moment inercije|glavnih osi]]. Godine 1751. dokazuje da se tijelu, kojeg god oblika bilo, uvijek može pripisati os koja prolazi njegovim centrom masa, a oko koje se ono slobodno i jednoliko okreće.<ref>{{Citiranje knjige |last=Euler |first=Leonhard |url=https://archive.org/stream/histoiredelacad07unkngoog#page/n196/mode/2up |title=Histoire de l'Académie royale des sciences et des belles lettres de Berlin |publisher=Akademie der Wissenschaften der DDR |year=1760 |pages=212 |language=French |chapter=Du mouvement d'un corps solide quelconque lorsqu'il tourne autour d'un axe mobile}}</ref> Johann Segner 1755. pokazuje da kruto tijelo ima tri glavne osi.<ref>{{Citiranje knjige |last=Segner |first=Johann Andreas |url=https://books.google.com/books?id=89NMAAAAcAAJ |title=Specimen Theoriae Turbinum |year=1755 |pages=29 |language=la}}</ref> [[Joseph-Louis Lagrange]] shvaća da su glavne osi svojstveni vektori [[Tenzor inercije|tenzora inercije]].<ref name="Hawkins">{{Citiranje časopisa |last=Hawkins |first=Thomas |date=1975-02-01 |title=Cauchy and the spectral theory of matrices |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0315086075900324 |journal=Historia Mathematica |language=en |volume=2 |issue=1 |pages=1–29 |doi=10.1016/0315-0860(75)90032-4 |issn=0315-0860}}</ref>

Početkom 19. stoljeća [[Augustin Louis Cauchy|Augustin-Louis Cauchy]] uvidio je da se rezultati Eulera i Lagrangea mogu koristiti za klasifikaciju [[Kvadrike|kvadrika]] i generalizirao ga na proizvoljan broj dimenzija.<ref name="Hawkins" /> Cauchy je također prvi upotrijebio naziv »karakteristični korijen« (fr. ''racine caractéristique'') za ono što se danas naziva ''svojstvena ili vlastita vrijednost'';<ref>{{Citiranje weba |last=Cauchy |first=Augustin |year=1839 |title=Mémoire sur l'intégration des équations linéaires |url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2967c |url-status=live |access-date=2021-10-18 |website=Gallica |language=FR}}</ref> njegov naziv i dalje se rabi za ''[[Karakteristični polinom|karakteristične polinome]]''.

[[Joseph Fourier]] poslužio se radom Lagrangea i [[Pierre-Simon Laplace|Pierre-Simona Laplacea]] kako bi riješio [[Toplinska jednadžba|toplinsku (difuzijsku) jednadžbu]] separacijom varijabla u svojoj poznatoj knjizi ''Théorie analytique de la chaleur iz'' 1822. godine.<ref name="Kline">{{Citiranje knjige |last=Kline |first=Morris |url=https://www.worldcat.org/oclc/517172 |title=Mathematical thought from ancient to modern times |year=1972 |isbn=0-19-501496-0 |location=New York |oclc=517172}}</ref> [[Charles-François Sturm]] razradio je Fourierove zamisli i pokazao ih Cauchyju, koji ih je onda kombinirao sa svojim idejama i došao do činjenice da realne simetrične matrice imaju realne vlastite vrijednosti.<ref name="Hawkins" /> [[Charles Hermite]] ovo je 1855. proširio na ono što se danas naziva [[Hermitska matrica|hermitskim matricama]].<ref name="Kline" />

Otprilike u isto vrijeme Francesco Brioschi dokazao je da vlastite vrijednosti [[Ortogonalna matrica|ortogonalnih matrica]] leže na [[Jedinična kružnica|jediničnoj kružnici]],<ref name="Hawkins" /> dok je Alfred Clebsch pronašao odgovarajući rezultat za [[Antisimetrična matrica|antisimetrične matrice]].<ref name="Kline" /> Karl Weierstrass pojašnjava važan aspekt u Laplaceovoj [[Teorija stabilnosti|teoriji stabilnosti]], shvaćajući da [[defektne matrice]] mogu uzrokovati nestabilnost.<ref name="Hawkins" />

U međuvremenu je Joseph Liouville proučavao probleme s vlastitim vrijednostima slične Sturmovim; disciplina koja je izrasla iz njihova rada sada se naziva ''[[Sturm – Liouvilleova teorija|Sturm–Liouvilleova teorija]]''.<ref name="Kline" /> Hermann Schwarz proučavao vlastite vrijednosti Laplaceove jednadžbe pretkraj 19. stoljeća, dok je [[Henri Poincaré|Poincaré]] proučavao [[Poissonova jednadžba|Poissonovu jednadžbu]] nekoliko godina kasnije.<ref name="Kline" />

Početkom 20. stoljeća [[David Hilbert]] proučava vlastite vrijednosti integralnih operatora promatrajući ih kao beskonačne matrice.<ref name="Kline" />

Prvi numerički algoritam za izračunavanje vlastitih vrijednosti i vlastitih vektora 1929. godine objavio je Richard von Mises. Jednu od najpopularnijih metoda danas, ''QR algoritam'' koji se zasniva na [[Numerička linearna algebra#QR dekompozicija matrice|QR dekompozicija matrica]], neovisno su predložili John Francis<ref>{{Citiranje časopisa |last=Francis |first=John |date=1961-03-01 |title=The QR Transformation A Unitary Analogue to the LR Transformation--Part 1 |url=https://doi.org/10.1093/comjnl/4.3.265 |journal=The Computer Journal |volume=4 |issue=3 |pages=265–271 |doi=10.1093/comjnl/4.3.265 |issn=0010-4620}}</ref> i Vera Kublanovskaya<ref>{{Citiranje časopisa |last=Kublanovskaya |first=V.N. |date=1962-01 |title=On some algorithms for the solution of the complete eigenvalue problem |url=http://dx.doi.org/10.1016/0041-5553(63)90168-x |journal=USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics |volume=1 |issue=3 |pages=637–657 |doi=10.1016/0041-5553(63)90168-x |issn=0041-5553}}</ref> 1961. godine.

== Izvori ==
{{Izvori|30em}}

[[Kategorija:Linearna algebra]]