Vidi kôd stranice Skup

U [[matematika|matematici]], '''skup''' se može shvatiti kao bilo koja kolekcija različitih apstraktnih objekata smatranim cjelinom. Iako se ovo čini jednostavnom idejom, skupovi su jedan od najvažnijih fundamentalnih koncepata u modernoj matematici.<ref>{{Citiranje knjige |title=Elementarna matematika I |year=2018 |url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/em/EM1/materijali/em1-skripta.pdf |format=PDF |publisher=Prirodoslovno-matematički fakultet |location=Zagreb |access-date=8. travnja 2021. |archive-date=19. prosinca 2019. |archive-url=https://web.archive.org/web/20191219215513/https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/em/EM1/materijali/em1-skripta.pdf |url-status=bot: unknown }}</ref>{{Is|21}} Matematička disciplina koja proučava moguće skupove, [[teorija skupova]], je sadržajno bogata i aktivna.<ref>{{Citiranje knjige |title=Teorija skupova |date=Siječanj 2015. |url=https://www.math.pmf.unizg.hr/sites/default/files/pictures/ts-skripta-2015.pdf |format=PDF |publisher=Sveučilište u Zagrebu |access-date=24. listopada 2020. |archive-date=24. srpnja 2019. |archive-url=https://web.archive.org/web/20190724174822/https://www.math.pmf.unizg.hr/sites/default/files/pictures/ts-skripta-2015.pdf |url-status=dead }}</ref><ref>{{Citiranje knjige |title=Naive set theory |last=Halmos, Paul R. (Paul Richard), 1916-2006, |url=https://www.worldcat.org/oclc/947951 |location=New York |isbn=0-387-90092-6}}</ref><ref>{{Citiranje knjige |title=Set theory and logic |last=Stoll, Robert Roth. |date=1979, ©1963 |url=https://www.worldcat.org/oclc/5950625 |publisher=Dover Publications |location=New York |isbn=0-486-63829-4}}</ref><ref name="Allenby">{{Citiranje knjige |title=Rings, fields, and groups : an introduction to abstract algebra |last=Allenby, R. B. J. T., |year=1991 |url=https://www.worldcat.org/oclc/26552538 |edition=2nd ed |publisher=E. Arnold |location=London |isbn=978-0-340-54440-2}}</ref>

[[Teorija skupova]], stvorena tek krajem 19. stoljeća, je danas sveprisutni dio matematičkog obrazovanja, te se stoga u većini zemalja uvodi već u osnovnoj školi. Teorija skupova se može shvatiti kao osnova nad kojom može biti izgrađena gotovo cijela matematika, te kao ishodište iz kojeg gotovo cijela matematika može biti izvedena. Ovaj članak predstavlja kratak i osnovni uvod u ono što matematičari zovu "intuitivna" ili "naivna" teorija - za više detalja pogledati [[naivna teorija skupova]]. Za rigorozniji i moderniji [[aksiom]]atski pristup skupovima, razvijena je aksiomatska teorija skupova.

[[Datoteka:Venn-diagram-AB.svg|mini|desno|300px|Matematički odnos između skupova se može vizualizirati Vennovim dijagramom.]]

== Definicija ==
Na početku svog djela ''Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre'', [[Georg Cantor]], principijelni tvorac teorije skupova, je napisao sljedeću definiciju skupa:<ref name="Allenby" />
Pod terminom ''skup'' smatramo bilo koju kolekciju M određenih, različitih objekata m naše zamjedbe ili misli (koji će se zvati ''elementi'' skupa M) u cjelinu.

Objekte skupa također zovemo njegovim ''[[član (matematika)|član]]ovima'' ili ''elementima''. Elementi skupa mogu biti raznih vrsta: brojevi, ljudi, slova abecede, drugi skupovi itd. Skupovi se dogovorno označavaju velikim slovima ''A'', ''B'', ''C'', itd. Za dva skupa ''A'' i ''B'' kažemo da su jednaka i zapisujemo ''A'' = ''B'' ako imaju iste članove.

Skup, za razliku od [[multiskup]]a, ne može sadržavati više jednakih elemenata. Sve skupovne operacije čuvaju svojstvo jedinstvenosti elementa u skupu. Slično, redoslijed nabrajanja elemenata skupa je nebitan, za razliku od ''slijeda'' ili ''tupla''.

== Opisivanje skupova ==
Nemaju svi skupovi precizan opis - neki mogu jednostavno biti proizvoljne kolekcije, bez nekog jasno izraženog "pravila" koje kazuje koji su elementi unutar ili van skupa.

Neki skupovi mogu biti opisani riječima, na primjer:

:''A'' je skup čiji su članovi prva četiri [[cijeli broj|cijela broja]].
:''B'' je skup čiji su članovi boje hrvatske zastave.

Dogovorno se skup također može definirati eksplicitnim nabrajanjem svih elemenata između vitičastih zagrada, na primjer:
:''C'' = {4, 2, 1, 3}
:''D'' = {crvena, bijela, plava}

Dva različita opisa mogu definirati isti skup. Na primjer, gore definirani skupovi ''A'' i ''C'' su identični, pošto imaju jednake članove. Skraćeni zapis ''A'' = ''C'' se koristi za izražavanje takve jednakosti. Slično, za gore definirane skupove vrijedi ''B'' = ''D''.

Identitet skupa ne ovisi o redoslijedu nabrajanja elemenata skupa, kao i o mogućim ponavljanjima elemenata prilikom nabrajanja. Na primjer, {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}.

Za skupove s mnogo elemenata ponekad se koristi skraćena lista. Na primjer, prvih tisuću pozitivnih cijelih brojeva se mogu opisati simboličkom kraticom:

:{1, 2, 3, ..., 1000},

pri čemu specijalni simbol od tri točke ('''...''') označava da se lista nastavlja na podrazumijevani način.

Slično se skup [[parni broj|parnih brojeva]] može opisati notacijom:

:{2, 4, 6, 8, ... }.

Složeniji skupovi se ponekad opisuju različitom notacijom. Na primjer, skup ''F'' čiji su članovi prvih dvadeset brojeva koji su za četiri manji od kvadrata cijelog broja, može biti opisan na sljedeći način:

:''F'' = {<math>n^2</math> &ndash; 4 ''':''' ''n'' je [[cijeli broj]]; i 0 ≤ ''n'' ≤ 19}
U ovom opisu, dvotočka (''':''') znači "takav da", i matematičari interpretiraju ovaj opis kao "''F'' je skup svih brojeva oblika <math>n^2</math> &ndash; 4, takvih da je ''n'' cijeli broj u opsegu od 0 do 19 uključivo." (Ponekad se umjesto dvotočke koristi okomita crta '''|'''.)

== Članstvo skupa ==
Ako nešto jest ili nije element nekog pojedinačnog skupa, tada to simboliziramo sa <math>\in</math> odnosno <math>\notin</math>. Na primjer, u odnosu na već definirane skupove, vrijedi:
:*<math>4 \in A</math> i <math>285 \in F</math> (budući da je 285 = 17² &minus; 4); ali
:*<math>9 \notin F</math> i <math>\mathrm{zelena}\ \notin B</math>.

== Kardinalnost skupa ==
Svaki gore opisan skup ima konačan broj članova - na primjer, skup ''A'' ima četiri člana, dok skup ''B'' ima tri člana.

Skup također može imati nula članova. Takav skup zove se '''[[prazni skup]]''' i označava simbolom ø. Na primjer, skup ''A'' svih trostranih kvadrata ima nula članova, i stoga je ''A'' = ø. Poput broja nula, iako naizgled trivijalan, prazni se skup pokazao kao poprilično važan u matematici.

Skup također može imati beskonačan broj članova - na primjer, skup [[prirodni broj|prirodnih brojeva]] je beskonačan.

Kaže se da su dva skupa '''ekvipotentna''' (imaju '''isti kardinalitet''' ili su '''jednakobrojni''' ili su '''bijektivni''') ako postoji [[Funkcija#Klasifikacija funkcija|bijekcija]] iz jednoga skupa u drugi skup. [[Binarna relacija|Relacija]] ekvipotencije je [[relacija ekvivalencije]], pa se skupovi svrstavaju u disjunktne klase - klasa kojoj pripada skup ''S'' zove se '''kardinalni broj''' skupa ''S'' i oznčava se sa <math>\left| S \right|</math> ili card ''S'' ili ''#S''.

== Podskup ==
{{glavni|Podskup}}
Ako je svaki član skupa ''A'' također član skupa ''B'', tada se za ''A'' kaže da je '''podskup''' od ''B'', piše se <math>A \subseteq B</math>, te izgovara ''A je sadržan u B''. Može se, također, zapisati <math>B \supseteq A</math> što se čita kao ''B je nadskup od A'', ''B uključuje A'' ili ''B sadrži A''. Relacija između skupova uspostavljenu sa <math>\subseteq</math> zove se '''inkluzija'''.

Ako je ''A'' podskup i nije jednak skupu ''B'', tada se za ''A'' kaže da je '''pravi podskup''' skupa ''B'', zapisuje s <math>A \subset B</math> (''A je pravi podskup od B'') ili <math>B \supset A</math> (''B je pravi nadskup od A''). Međutim, u nekoj literaturi ovi se simboli čitaju isto kao i <math>\subseteq</math> i <math>\supseteq</math>, te se stoga češto preferira korištenje eksplicitnijih simbola <math>\subsetneq</math> i <math>\supsetneq</math> za prave podskupove i nadskupove.

<div style="float:right;margin:1em;">[[Datoteka:Venn_A_subset_B.png|150px|središte|A je podskup od B]]<center><small> ''A'' je podskup od ''B''</small></center></div>

Primjeri:
:*Skup svih žena je pravi podskup skupa svih ljudi.
:*<math>\{1,3\} \subset \{1,2,3,4\}</math>
:*<math>\{1, 2, 3, 4\} \subseteq \{1,2,3,4\}</math>

Prazni skup je podskup svakog skupa i svaki skup je sam svoj podskup:
:*<math>\emptyset \subseteq A</math>
:*<math>A \subseteq A</math>

== Posebni skupovi ==
Neki istaknuti skupovi imaju izuzetnu matematičku važnosti i toliko se često koriste da su dobili posebna imena i notaciju. Jedan od njih je već spomenuti prazni skup. Neki od ostalih su:
*<math>\mathbb{P}</math> označava skup svih [[prost broj|prostih brojeva]].
*<math>\mathbb{N}</math> označava skup svih [[prirodni broj|prirodnih brojeva]]. Drugim riječima, <math>\mathbb{N}</math> = {1, 2, 3, ...}, ili rjeđe <math>\mathbb{N}</math> = {0, 1, 2, 3, ...}.
*<math>\mathbb{Z}</math> označava skup svih [[cijeli broj|cijelih brojeva]] (bilo pozitivnih, negativnih ili nule).  Stoga je <math>\mathbb{Z}</math> = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
*<math>\mathbb{Q}</math> označava skup svih [[racionalni broj|racionalnih brojeva]] (tj. skup svih pravih i nepravih razlomaka). Stoga je <math>\mathbb{Q}</math> = {<math>\begin{matrix} \frac{a}{b} \end{matrix}</math> : ''a'',''b'' <math>\in \mathbb{Z}</math> i ''b'' ≠ 0}. Na primjer, <math>\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix} \in \mathbb{Q}</math> i <math>\begin{matrix}\frac{11}{6} \end{matrix} \in \mathbb{Q}</math>. Svi cijeli brojevi su u ovom skupu jer se svaki cijeli broj ''a'' može izraziti kao razlomak <math>\begin{matrix} \frac{a}{1} \end{matrix}</math>.
*<math>\mathbb{R}</math> je skup svih [[realni broj|realnih brojeva]]. Ovaj skup uključuje sve racionalne i iracionalne brojeve (tj. brojeve koji se ne mogu zapisati u obliku razlomka, kao što su <math>\pi,</math> <math>e,</math> i √2).
*<math>\mathbb{C}</math> je skup svih [[kompleksni broj|kompleksnih brojeva]].

Svaki od ovih skupova brojeva je [[beskonačan skup|beskonačan]], premda vrijedi <math>\mathbb{P} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}</math>, iako se prosti brojevi općenito koriste manje od ostalih skupova izvan [[teorija brojeva|teorije brojeva]] i srodnih disciplina.

Međutim, ne postoji samo jedna vrsta beskonačnosti. Za skup koji je ekvipotentan (jednakobrojan) sa skupom prirodnih brojeva <math>\mathbb{N}</math> kažemo da je '''prebrojivo beskonačan''' (kraće ''prebrojiv''), a "veći" skupovi su '''neprebrojivo beskonačni''' (kraće ''neprebrojivi'').

Prebrojivo beskonačni skupovi su, na primjer, skupovi <math>\mathbb{P}, \mathbb{N}, \mathbb{Z},  \mathbb{Q}</math>, kao i skup svih prirodnih brojeva koji su parni, neparni, djeljivi s 3, djeljivi 4, itd. Primjeri neprebrojivo beskonačnih skupova su <math>\mathbb{R}</math> i <math>\mathbb{C}</math>.

== Unija ==
{{glavni|Unija skupova}}
Postoji nekoliko načina za konstruiranje novih skupova od već postojećih.
Dva se skupa mogu "zbrojiti". '''Unija''' skupova ''A'' i ''B'', označena s ''A''&nbsp;U&nbsp;''B'', je skup svih elemenata koji su članovi ili skupa ''A'' ili skupa ''B''.

<div style="float:right;margin:1em;">[[Datoteka:Venn_A_union_B.png|150px|središte|A unija B]]<center><small> '''Unija''' skupova ''A'' i ''B''</small></center></div>

Primjeri:
:*{1, 2}&nbsp;U&nbsp;{crvena, bijela} = {1, 2, crvena, bijela}
:*{1, 2, zelena}&nbsp;U&nbsp;{crvena, bijela, zelena} = {1, 2, crvena, bijela, zelena}
:*{1, 2}&nbsp;U&nbsp;{1, 2} = {1, 2}

Neka osnovna svojstva unije:
:*''A''&nbsp;U&nbsp;''B''&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;''B''&nbsp;U&nbsp;''A''
:*''A''&nbsp;&nbsp;je podskup skupa&nbsp;&nbsp;''A''&nbsp;U&nbsp;''B''
:*''A''&nbsp;U&nbsp;''A''&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''A''
:*''A''&nbsp;U&nbsp;ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''A''

== Presjek ==
{{glavni|Presjek skupova}}
Novi se skup također može konstruirati određivanjem "zajedničkih" elemenata obaju skupova. '''Presjek''' skupova ''A'' i ''B'', označen s ''A''&nbsp;∩&nbsp;''B'', je skup svih elemenata koji su članovi i skupa ''A'' i skupa ''B''. Ako je ''A''&nbsp;∩&nbsp;''B''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;ø, tada za  ''A'' i ''B'' kažemo da su '''disjunktni'''.
<div style="float:right;margin:1em;">[[Datoteka:Venn_A_intersect_B.svg|150px|središte|A presjek B]]<center><small>'''Presjek''' skupova ''A'' i ''B''</small></center></div>

Primjer:
:*{1, 2}&nbsp;∩&nbsp;{crvena, bijela} = ø
:*{1, 2, zelena}&nbsp;∩&nbsp;{crvena, bijela, zelena} = {zelena}
:*{1, 2}&nbsp;∩&nbsp;{1, 2} = {1, 2}

Neka osnovna svojstva presjeka:
:*''A''&nbsp;∩&nbsp;''B''&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;''B''&nbsp;∩&nbsp;''A''
:*''A''&nbsp;∩&nbsp;''B''&nbsp;&nbsp;je podskup skupa&nbsp;&nbsp;''A''
:*''A''&nbsp;∩&nbsp;''A''&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;''A''
:*''A''&nbsp;∩&nbsp;ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;ø

== Komplementi ==
{{glavni|Komplement skupa}}
Dva se skupa također mogu "oduzeti". '''Relativni komplement''' skupa ''A'' u skupu ''B'' (još se koristi i naziv '''skupovna razlika''' skupova ''B'' i ''A''), označeno s ''B''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'', (ili ''B'' \ ''A''), je skup svih elemenata koji su članovi skupa ''B'', ali nisu članovi skupa ''A''. Potrebno je uočiti da je valjana operacija "oduzimanja" članova koji nisu u skupu, poput micanja elementa ''zelena'' iz skupa {1,2,3} - takva operacija nema učinka.

U određenim postavkama, svi skupovi koji se promatraju, smatraju se podskupovima nekog danog '''univerzalnog skupa''' ''U''. U takvim slučajevima, ''U''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'' zove se '''apsolutni komplement''' ili jednostavno '''komplement''' skupa ''A'', i označava s ''A''&prime;, ''A''<sup>C</sup> ili <math>\bar A</math>.
<div style="float:right;margin:1em;">[[Datoteka:Venn_B_minus_A.png|150px|središte|B minus A]]<center><small>'''Relativni komplement'''<br>skupa ''A'' u skupu ''B''</small></center>
[[Datoteka:Venn A complement.png|150px|središte|A complement]]<center><small>'''Komplement''' skupa ''A'' u skupu ''U''</small></center></div>
Primjeri:
:*{1, 2}&nbsp;&minus;&nbsp;{crvena, bijela} = {1, 2}
:*{1, 2, zelena}&nbsp;&minus;&nbsp;{crvena, bijela, zelena} = {1, 2}
:*{1, 2}&nbsp;&minus;&nbsp;{1, 2} = ø
:*Ako je ''U'' skup svih cijelih brojeva, ''P'' skup parnih brojeva, a ''N'' skup svih neparnih brojeva, tada komplement skupa ''P'' u ''U'' iznosi ''N'', ili ekvivalentno, ''P''&prime; = ''N''.

Neka osnovna svojstva komplementa:
:*''A''&nbsp;U&nbsp;''A&prime;'' = ''U''
:*''A''&nbsp;∩&nbsp;''A&prime;'' = ø
:*(''A&prime; '')&prime; = ''A''
:*''A''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'' = ø
:*''A''&nbsp;&minus;&nbsp;''B'' = ''A''&nbsp;∩&nbsp;''B&prime;''

== Izvori ==
{{izvori}}

[[Kategorija:Teorija skupova]]