Vidi kôd stranice Prirodni broj

{{Wikiprojekt 10000/Ikona}}
[[Datoteka:Three Baskets with Apples.svg|mini|Prirodni brojevi koriste se za pobrojavanje: jedna jabuka u košari, dvije jabuke u košari, tri jabuke u košari; šest jabuka u tri košare. Dvije jabuke jesu jedna jabuka kojoj je dodana još jedna jabuka. Tri jabuke jesu dvije jabuke kojima je dodana još jedna jabuka.]]
U [[Matematika|matematici]], '''prirodni brojevi''' jesu [[broj]]evi [[jedan]] (1), [[dva]] (2), [[tri]] (3), [[četiri]] (4) i tako redom. Neke definicije, uključujući standard ISO 80000-2,<ref name="ISO80000">{{Citiranje knjige |url=https://www.iso.org/standard/64973.html |title=ISO 80000-2:2019 |date=19. svibnja 2020. |publisher=[[International Organization for Standardization]] |page=4 |chapter=Standard number sets and intervals |chapter-url=https://cdn.standards.iteh.ai/samples/64973/329519100abd447ea0d49747258d1094/ISO-80000-2-2019.pdf#page=10}}</ref> započinju niz prirodnih brojeva [[Nula|nulom]] (0), što odgovara nenegativnim [[Cijeli brojevi|cijelim brojevima]] 0, 1, 2, 3, … dok ga druge počinju jedinicom (1), što odgovara pozitivnim cijelim brojevima 1, 2, 3, …   

Prirodni brojevi nastali su apstrakcijom ideje o veličini konačnoga skupa sastavljenog od pojedinačnih objekata. Za razliku od [[Diskretna matematika|diskretnosti]] brojanja s pomoću prirodnih brojeva, [[mjerenje]] veličina, koje su najčešće [[Kontinuum (teorija skupova)|kontinuirane]], traži [[Realni broj|realne brojeve]].

Kada se prirodni brojevi koriste za brojanje (»na stolu je ''šest'' jabuka«) zovu se ''kardinalni brojevi''. Kada se koriste za označavanje poretka (»Zemlja je ''treći'' planet od Sunca«) zovu se ''[[Redni broj (gramatika)|ordinalni (redni) brojevi]]''.<ref name=":1">{{Citiranje weba |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Natural Number |url=https://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html |access-date=11. kolovoza 2020. |website=mathworld.wolfram.com |language=en}}</ref>

Prirodni brojevi tvore [[skup]], najčešće označen s <math display="inline">\mathbb{N}</math> ([[Latinski jezik|lat.]] ''naturalis''). On se sastoji od elementa ''jedan'', elementa ''dva'' (kojeg ima jedan više od jedan), elementa ''tri'' (kojeg ima jedan više od dva), elementa ''četiri''…<ref>{{Citiranje weba |title=Natural Numbers |url=https://brilliant.org/wiki/natural-numbers/ |access-date=11. kolovoza 2020. |website=Brilliant Math & Science Wiki |language=en-us}}</ref> Mnogi drugi skupovi brojeva izgrađuju se uzastopnim proširenjem skupa prirodnih brojeva: [[cijeli broj]]evi uključivanjem neutralnog elementa za zbrajanje (nule) i inverza za zbrajanje  {{Matematika|−''n''}} za svaki prirodni broj n različit od nule; [[racionalni broj]]evi uključivanjem inverza za množenje <math>1/n</math> za svaki cijeli broj n različit od nule (uz dodavanje i umnožaka ovih inverza s cijelim brojevima); [[realni broj]]evi uključivanjem [[Limes (matematika)|limesa]] Cauchyjevih nizova racionalnih brojeva; [[kompleksni broj]]evi pridodavanjem [[Imaginarna jedinica|kvadratnog korijena od {{Matematika|−1}}]] na skup realnih brojeva i svih umnožaka realnih brojeva s njime. Ovaj lanac proširenjā kanonski ugrađuje prirodne brojeve u sve druge skupove brojeva.

Svojstva prirodnih brojeva kao što su [[Djelitelj|djeljivost]] i raspodjela [[Prosti broj|prostih brojeva]] proučavaju se u [[Teorija brojeva|teoriji brojeva]]. Problemi koji se tiču prebrojavanja i uređenja proučavaju se u [[Kombinatorika|kombinatorici]].

== Povijest ==
[[Datoteka:Ishango bone (cropped).jpg|mini|Pretpostavlja se da su prije 20 000 godina ovu kost na zapadu [[Afrika|Afrike]] upotrebljavali za računanje s prirodnim brojevima.]]

Najprimitivniji način predstavljanja prirodnog broja bilo je stavljanje oznake za svaki predmet. Utvrđivanje jednakosti, manjka ili viška predmeta na okupu moglo se postići precrtavanjem oznake i uklanjanjem predmeta iz skupa.

Prvi veći napredak u apstrakciji bila je upotreba [[Brojevni sustav|brojevnog sustava]] za predstavljanje brojeva, posebno onih velikih. [[Povijest drevnog Egipta|Drevni Egipćani]] razvili su sustav brojeva s različitim [[Egipatski hijeroglifi|hijeroglifima]] za 1, 10 i sve potencije od 10 do preko jednoga milijuna. Rezbarija u kamenu iz [[Karnak]]a, koja potječe iz oko 1500 godine [[pr. n. e.]] i sada je u [[Louvre]]u u Parizu, prikazuje broj 276 kao 2 stotine, 7 desetica i 6 jedinica, te slično i za broj&nbsp;4622. [[Babilonija|Babilonci]] su imali pozicijski sustav temeljen na znamenkama za 1 i 10, a koristili su bazu šezdeset; oznaka za šezdeset bila je ista kao oznaka za jedan pa je vrijednost određivana iz konteksta.<ref>{{Citiranje knjige |last=Ifrah |first=Georges |title=The Universal History of Numbers |publisher=Wiley |year=2000 |isbn=0-471-37568-3}}</ref>

Mnogo poslije došla je ideja o nuli kao broju, s vlastitom oznakom. Upotreba [[Znamenka|znamenke]] 0 u pozicijskom zapisu javlja se još 700. pr. n. e. u Babilonaca, koji su je izostavljali kada bi bila posljednji znak u broju.{{Efn|Ploča iz [[Kiš]]a za koju se pretpostavlja da je iz oko 700. pr. n. e. upotrebljava tri kvačice za označavanje praznog mjesta u pozicijskom zapisu; neke druge ploče koriste samo jednu kvačicu.<ref>{{cite web |title=A history of Zero |website=MacTutor History of Mathematics |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html |url-status=live |access-date=23. siječnja 2013. |archive-url=https://web.archive.org/web/20130119083234/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html |archive-date=19. siječnja 2013.}}</ref>}} [[Olmeci]] i [[Maya Indijanci|Maje]] koristili su 0 kao zasebnu znamenku već u 1. stoljeću pr. n. e., no to se nije proširilo dalje od [[Mezoamerika|Srednje Amerike]].<ref>{{Citiranje knjige |last=Mann |first=Charles C. |url=https://books.google.com/books?id=Jw2TE_UNHJYC&pg=PA19 |title=1491: New Revelations of the Americas before Columbus |publisher=Knopf |year=2005 |isbn=978-1-4000-4006-3 |page=19 |access-date=3. veljače 2015. |archive-url=https://web.archive.org/web/20150514105855/https://books.google.com/books?id=Jw2TE_UNHJYC&pg=PA19 |archive-date=14. svibnja 2015. |url-status=live |via=Google Books}}</ref><ref>{{Citiranje knjige |last=Evans |first=Brian |title=The Development of Mathematics Throughout the Centuries: A brief history in a cultural context |publisher=John Wiley & Sons |year=2014 |isbn=978-1-118-85397-9 |chapter=Chapter 10. Pre-Columbian Mathematics: The Olmec, Maya, and Inca Civilizations |chapter-url=https://books.google.com/books?id=3CPwAgAAQBAJ&pg=PT73 |via=Google Books}}</ref> Upotreba nule u moderno doba potječe od indijskoga matematičara [[Brahmagupta|Brahmagupte]] iz 628. godine. Nula se koristila u srednjovjekovnome [[Računanje nadnevka Uskrsa|računanju nadnevka Uskrsa]], počevši od [[Dionizije Mali|Dionizija Malog]] 525. godine, ali nije imala oznaku. Standardni [[rimski brojevi]] nemaju simbol za nulu; umjesto toga upotrebljavana je ''nulla'' (genitiv: ''nullae'') od ''nullus'' za ''ništa''.<ref>{{Citiranje weba |last=Deckers |first=Michael |date=25. kolovoza 2003. |title=Cyclus Decemnovennalis Dionysii – Nineteen year cycle of Dionysius |url=http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20190115083618/http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |archive-date=15. siječnja 2019. |access-date=13. veljače 2012. |publisher=Hbar.phys.msu.ru}}</ref>

Prvo sustavno proučavanje brojeva kao [[Apstrakcija|apstrakcije]] obično se pripisuje [[Stara Grčka|grčkim]] filozofima [[Pitagora|Pitagori]] i [[Arhimed]]u. Neki grčki matematičari smatrali su broj ''jedan'' drugačijim od većih brojeva, ponekad ga i ne smatrajući brojem.{{Efn|Ta se konvencija upotrebljava na primjer u Euklidovim ''Elementima''.<ref name=EuclidVIIJoyce>{{cite book |author=Euklid |author-link=Euklid |editor-first=D. |editor-last=Joyce |chapter=Book VII, definitions 1 and 2 |title=Elements |publisher=Clark University |chapter-url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVII/defVII1.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20110805002110/http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVII/defVII1.html |archive-date=5. kolovoza 2011.}}</ref>}} [[Euklid]] je, na primjer, prvo definirao jedinicu, a zatim broj kao mnoštvo jedinica; prema njegovoj definiciji jedinica nije broj i ne postoje jedinstveni brojevi.<ref name="Mueller 2006 p. 58">{{Citiranje knjige |last=Mueller |first=Ian |title=Philosophy of mathematics and deductive structure in Euclid's Elements |publisher=Dover Publications |year=2006 |isbn=978-0-486-45300-2 |location=Mineola, New York |page=58 |oclc=69792712}}</ref>

Nezavisne studije o brojevima postojale su otprilike u isto vrijeme u [[Indija|Indiji]], Kini i [[Mezoamerika|Srednjoj Americi]].<ref>{{Citiranje knjige |last=Kline |first=Morris |title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times |publisher=Oxford University Press |year=1990 |isbn=0-19-506135-7 |orig-year=1972}}</ref>

=== Suvremene definicije ===
U Europi 19. stoljeća vodile su se matematičke i filozofske rasprave o točnoj prirodi prirodnih brojeva. [[Henri Poincaré]] izjavio je da se aksiomi mogu iskazati samo u njihovoj konačnoj primjeni i zaključio da je »moć uma« ta koja omogućuje shvaćanje beskrajnog ponavljanja istoga čina.<ref>{{Citiranje knjige |last=Poincaré |first=Henri |title=La Science et l'hypothèse |year=1905 |at=VI |translator-last=Greenstreet |translator-first=William John |trans-title=Science and Hypothesis |chapter=On the nature of mathematical reasoning |chapter-url=https://en.wikisource.org/wiki/Science_and_Hypothesis/Chapter_1}}</ref> [[Leopold Kronecker]] sažeo je svoje uvjerenje u »Bog je napravio cijele brojeve, sve ostalo djelo je čovjeka«.

[[Konstruktivizam|Konstruktivisti]] su uvidjeli potrebu za poboljšanjem logičke strogosti u temeljima matematike.{{Efn|"Much of the mathematical work of the twentieth century has been devoted to examining the logical foundations and structure of the subject." {{harv|Eves|1990|p=606}}}} U 1860-ima, Hermann Grassmann predložio je [[Rekurzija|rekurzivnu definiciju]] za prirodne brojeve, navodeći da oni zapravo nisu prirodni, već su posljedica definicija. Poslije su konstruirane dvije klase takvih formalnih definicija, a onda se pokazalo da su jednakovrijedne u većini praktičnih primjena.

Definicije prirodnih brojeva u teoriji skupova započeo je [[Gottlob Frege]]. Prvobitno je definirao prirodni broj kao klasu svih skupova koji su u korespondenciji jedan-na-jedan s određenim skupom. Pokazalo se da ta definicija dovodi do paradoksa, uključujući [[Russellov paradoks]]. Da bi se izbjegli takvi paradoksi, formalizam je izmijenjen tako da je prirodni broj definiran kao određeni skup, a za svaki skup koji se može staviti u [[Bijekcija|bijekciju]] s tim skupom kaže se da ima taj broj elemenata.<ref>{{Harvnb|Eves|1990}}</ref>

Drugu klasu definicija uveo je Charles Sanders Peirce, poboljšao [[Richard Dedekind]], a dalje istražio [[Giuseppe Peano]]. Taj se pristup sada naziva Peanova aritmetika. Temelji se na [[Aksiomatski sustav|aksiomatizaciji]] svojstava ordinalnih (rednih) brojeva: svaki prirodni broj ima sljedbenika i svaki prirodni broj različit od nule ima jedinstvenogs prethodnika. Peanova aritmetika je konzistentna s nekoliko slabih sustava teorije skupova. Jedan takav sustav je [[Zermelo–Fraenkelova teorija skupova|Zermelo-Fraenkelova teorija skupova]] za koju je aksiom beskonačnosti zamijenjenom svojom negacijom. Teoremi koji se mogu dokazati u Z-F teoriji, ali se ne mogu dokazati s pomoću Peanovih aksioma uključuju Goodsteinov teorem.<ref>{{Citiranje časopisa |last=Kirby |first=Laurie |last2=Paris |first2=Jeff |year=1982 |title=Accessible Independence Results for Peano Arithmetic |journal=Bulletin of the London Mathematical Society |publisher=Wiley |volume=14 |issue=4 |pages=285–293 |doi=10.1112/blms/14.4.285 |issn=0024-6093}}</ref>

Uz sve ove definicije prikladno je uključiti nulu (koja odgovara [[Prazni skup|praznom skupu]] ) kao prirodni broj. To je sada uobičajena konvencija među [[Teorija skupova|teoretičarima skupova]]<ref>{{Citiranje knjige |last=Bagaria |first=Joan |url=http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/ |title=Set Theory |publisher=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |year=2017 |edition=Winter 2014 |access-date=13. veljače 2015. |archive-url=https://web.archive.org/web/20150314173026/http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/ |archive-date=14. ožujka 2015. |url-status=live}}</ref> i [[Logika|logičarima]].<ref>{{Citiranje knjige |last=Goldrei |first=Derek |url=https://archive.org/details/classicsettheory00gold |title=Classic Set Theory: A guided independent study |year=1998 |publisher=Chapman & Hall/CRC |isbn=978-0-412-60610-6 |edition=1. |location=Boca Raton, Fla. [u.a.] |page=[https://archive.org/details/classicsettheory00gold/page/n39 33] |chapter=3 |url-access=limited}}</ref> [[Računalni jezik|Računalni jezici]] često počinju od nule kada pobrajaju stavke u [[For petlja|brojačima petlji]] i elemente struktura podataka.<ref>{{Citiranje časopisa |last=Brown |first=Jim |year=1978 |title=In defense of index origin 0 |journal=ACM SIGAPL APL Quote Quad |volume=9 |issue=2 |page=7 |doi=10.1145/586050.586053 |issn=0163-6006}}</ref><ref>{{Citiranje weba |last=Hui |first=Roger |title=Is index origin 0 a hindrance? |url=http://www.jsoftware.com/papers/indexorigin.htm |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20151020195547/http://www.jsoftware.com/papers/indexorigin.htm |archive-date=20. listopada 2015. |access-date=19. siječnja 2015. |website=jsoftware.com}}</ref> Ipak, mnogi matematičari drže se starije tradicije i jedan (1) smatraju prvim prirodnim brojem.

== Notacija ==
[[Skup]] svih prirodnih brojeva uobičajeno se označava znakovima {{Matematika|'''N'''}} ili <math>\mathbb N.</math><ref name=":1"/>

Ovisno o konvenciji, prirodni brojevi uključuju ili ne uključuju nulu. U upotrebi je nekoliko notacija:<ref name="ISO80000"/><ref name="Grimaldi">{{Citiranje knjige |last=Grimaldi |first=Ralph P. |title=Discrete and Combinatorial Mathematics: An applied introduction |publisher=Pearson Addison Wesley |year=2004 |isbn=978-0-201-72634-3 |edition=5.}}</ref>

* Prirodni brojevi bez nule: <math>\{1,2,...\}=\mathbb{N}^*= \mathbb N^+=\mathbb{N}_0\smallsetminus\{0\} = \mathbb{N}_1</math>
* Prirodni brojevi s nulom: <math>\;\{0,1,2,...\}=\mathbb{N}_0=\mathbb N^0=\mathbb{N}^*\cup\{0\}</math>

Alternativno, budući da prirodni brojevi tvore [[podskup]] cijelih [[Cijeli broj|brojeva]] {{Nowrap|<math>\mathbb Z</math>}}, može ih se nazivati pozitivnim, odnosno nenegativnim cijelim brojevima.<ref>{{Citiranje knjige |last=Grimaldi |first=Ralph P. |title=A review of discrete and combinatorial mathematics |year=2003 |publisher=Addison-Wesley |isbn=978-0-201-72634-3 |edition=5. |location=Boston |page=133}}</ref> Notacija je:<ref name="ISO80000"/>

: <math>\{1, 2, 3,\dots\} = \{x \in \mathbb Z : x > 0\}=\mathbb Z^+= \mathbb{Z}_{>0}</math>
: <math>\{0, 1, 2,\dots\} = \{x \in \mathbb Z : x \ge 0\}=\mathbb Z^{+}_{0}=\mathbb{Z}_ {\ge 0}</math>

== Svojstva ==
Ovaj odjeljak koristi konvenciju <math>\mathbb{N}=\mathbb{N}_0=\mathbb{N}^*\cup\{0\}</math>.

=== Zbrajanje ===
Ako je <math>\mathbb{N}</math> skup prirodnih brojeva, a <math>S \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}</math> funkcija »sljedbenik« koja svakom prirodnom broju pridružuje sljedeći u nizu, [[zbrajanje]] (+) prirodnih brojeva može se zadati rekurzivno uzimajući da je {{Matematika|''a'' + 0 {{=}} ''a''}} i {{Matematika|''a'' + ''S''(''b'') {{=}} ''S''(''a'' + ''b'')}} za sve {{Matematika|''a''}}, {{Matematika|''b''}}. Tako je {{Matematika|''a'' + 1 {{=}} ''a'' + S(0) {{=}} S(''a''+0) {{=}} S(''a'')}}, {{Matematika|''a'' + 2 {{=}} ''a'' + S(1) {{=}} S(''a''+1) {{=}} S(S(''a''))}} i dalje redom. 

[[Algebarska struktura]] <math>(\mathbb{N}, +)</math> [[Komutativnost|komutativni]] je [[monoid]] s neutralnim elementom 0, također i slobodni monoid s jednim generatorom. Najmanja grupa s obzirom na zbrajanje koja sadrži prirodne brojeve jesu [[cijeli broj]]evi.

Ako je 1 definiran kao {{Matematika|''S''(0)}}, tada je {{Matematika|''b'' + 1 {{=}} ''b'' + ''S''(0) {{=}} ''S''(''b'' + 0) {{=}} ''S''(''b'')}}. To jest, {{Matematika|''b'' + 1}} je sljedbenik broja {{Matematika|''b''}}.

=== Množenje ===
Kada je definirano zbrajanje, operator [[Množenje|množenja]] <math>\times</math> može se definirati preko {{Matematika|''a'' × 0 {{=}} 0}} i {{Matematika|''a'' × S(''b'') {{=}} (''a'' × ''b'') + ''a''}}. To strukturu <math>(\mathbb{N}^*, \times)</math> čini slobodnim komutativnim monoidom s neutralnim elementom 1; skup generatora za ovaj monoid skup je [[Prosti broj|prostih brojeva]].

=== Odnos zbrajanja i množenja ===
Zbrajanje i množenje kompatibilne su operacije, što se izražava distributivnošću: {{Matematika|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}. Ova svojstva zbrajanja i množenja čine prirodne brojeve [[Komutativnost|komutativnim]] [[Prsten (matematika)|poluprstenom]]. Poluprsten je algebarska generalizacija prirodnih brojeva u kojemu množenje nije nužno komutativno. Nedostatak aditivnih inverza, što je ekvivalentno činjenici da <math>\mathbb{N}</math> nije [[Zatvorenost (matematika)|zatvoren]] za oduzimanje (to jest, oduzimanje jednog prirodnog od drugog ne rezultira uvijek drugim prirodnim brojem), znači da <math>\mathbb{N}</math> ''nije'' [[Prsten (matematika)|prsten]]; umjesto toga to je poluprsten.

Ako se iz prirodnih brojeva izuzme 0, to jest ako se uzme da počinju s 1, definicije za + i × iste su, osim što počinju s {{Matematika|''a'' + 1 {{=}} ''S''(''a'')}} i {{Matematika|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}. U tom slučaju <math>(\mathbb{N^*}, +)</math> nema neutralni element.

=== Poredak ===
[[Totalno uređen skup|Ukupni poredak]] prirodnih brojeva definiran je tako da je {{Matematika|''a'' ≤ ''b''}} (a prije b, odnosno a manji ili jednak b) ako i samo ako postoji drugi prirodni broj {{Matematika|''c''}} (uključujući nulu) takav da je {{Matematika|''a'' + ''c'' {{=}} ''b''}}. Ovaj je poredak kompatibilan s [[Aritmetika|aritmetičkim operacijama]] u sljedećem smislu: ako su {{Matematika|''a''}}, {{Matematika|''b''}} i {{Matematika|''c''}} prirodni brojevi i {{Matematika|''a'' ≤ ''b''}}, tada je {{Matematika|''a'' + ''c'' ≤ ''b'' + ''c''}} i {{Matematika|''a × c'' ≤ ''b × c''}}.

Važno svojstvo prirodnih brojeva jest da tvore [[dobro uređen skup]]: svaki neprazan skup prirodnih brojeva ima najmanji element.

=== Dijeljenje ===
Iako općenito nije moguće podijeliti jedan prirodni broj drugim i dobiti prirodan broj, u skupu prirodnih brojeva postoji postupak ''dijeljenja s ostatkom'': za bilo koja dva prirodna broja {{Matematika|''a''}} i {{Matematika|''b''}}, uz {{Matematika|''b'' ≠ 0}} postoje prirodni brojevi {{Matematika|''q''}} i {{Matematika|''r''}} takvi da je

: <math>a = b \times q + r \text{ uz } r < b. </math>

Broj {{Matematika|''q''}} naziva se ''kvocijent'' ili ''količnik'', a {{Matematika|''r''}} ''ostatak'' dijeljenja broja {{Matematika|''a''}} brojem {{Matematika|''b''}}. Brojevi {{Matematika|''q''}} i {{Matematika|''r''}} jednoznačni su za dane {{Matematika|''a''}} i {{Matematika|''b''}}.

=== Algebarska svojstva koja zadovoljavaju prirodni brojevi ===
Operacije zbrajanja (+) i množenja (×) na prirodnim brojevima kako je gore definirano imaju nekoliko algebarskih svojstava:

* [[Zatvorenost (matematika)|Zatvorenost]] skupa na operacije zbrajanja i množenja: za sve prirodne brojeve {{Matematika|''a''}}, {{Matematika|''b''}} i zbroj {{Matematika|''a'' + ''b''}} i umnožak {{Matematika|''a'' × ''b''}} prirodni su brojevi<ref>{{Citiranje knjige |last=Fletcher |first=Harold |url=https://books.google.com/books?id=7cPSBQAAQBAJ&q=Natural+numbers+closed&pg=PA116 |title=Mathematics with Understanding |last2=Howell |first2=Arnold A. |date=9. svibnja 2014. |publisher=Elsevier |isbn=978-1-4832-8079-0 |page=116 |language=en |quote=...the set of natural numbers is closed under addition... set of natural numbers is closed under multiplication}}</ref>
* [[Asocijativnost]]: za sve prirodne brojeve {{Matematika|''a''}}, {{Matematika|''b''}} i {{Matematika|''c''}} vrijedi {{Matematika|''a'' + (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' + ''b'') + ''c''}} i {{Matematika|''a'' × (''b'' × ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') × ''c''}}<ref>{{Citiranje knjige |last=Davisson |first=Schuyler Colfax |url=https://books.google.com/books?id=E7oZAAAAYAAJ&q=Natural+numbers+associative&pg=PA2 |title=College Algebra |year=1910 |publisher=Macmillian Company |page=2 |language=en |quote=Addition of natural numbers is associative.}}</ref>
* [[Komutativnost]]: za sve prirodne brojeve {{Matematika|''a''}} i {{Matematika|''b''}} vrijedi {{Matematika|''a'' + ''b'' {{=}} ''b'' + ''a''}} i {{Matematika|''a'' × ''b'' {{=}} ''b'' × ''a''}}.<ref>{{Citiranje knjige |last=Brandon |first=Bertha (M.) |url=https://books.google.com/books?id=xERMAQAAIAAJ&q=Natural+numbers+commutative |title=Laidlaw mathematics series |last2=Brown |first2=Kenneth E. |last3=Gundlach |first3=Bernard H. |last4=Cooke |first4=Ralph J. |year=1962 |publisher=Laidlaw Bros. |volume=8 |page=25 |language=en}}</ref>
* Postojanje [[Neutralni element|neutralnih elemenata]]: za svaki prirodni broj {{Matematika|''a''}} nula je neutralni element za zbrajanje, {{Matematika|''a'' + 0 {{=}} ''a''}}, a jedan za množenje, {{Matematika|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}.
** Ako se od prirodnih brojeva izuzme nula, tada za svaki prirodni broj {{Matematika|''a''}} vrijedi {{Matematika|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}, no ne postoji neutralni element za zbrajanje
* Distributivnost množenja prema zbrajanju: za sve prirodne brojeve {{Matematika|''a''}}, {{Matematika|''b''}} i {{Matematika|''c''}} vrijedi {{Matematika|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}
* Ako skup prirodnih brojeva uključuje nulu, u njemu nema djelitelja nule različitih od nule: ako su {{Matematika|''a''}} i {{Matematika|''b''}} prirodni brojevi takvi da je {{Matematika|''a'' × ''b'' {{=}} 0}}, tada je ili {{Matematika|''a'' {{=}} 0}} ili {{Matematika|''b'' {{=}} 0}} ili oboje.

== Uopćenja ==
Dvije važne generalizacije prirodnih brojeva proizlaze iz upotreba za brojanje i uređenje: kardinalni brojevi i redni brojevi.

* Prirodni broj može se koristiti za izražavanje veličine konačnog skupa; točnije, kardinalni broj mjera je veličine skupa, koja je prikladna čak i za beskonačne skupove. Koncept »veličine« oslanja se na mapiranje između skupova: dva skupa imaju [[Jednakobrojnost|istu veličinu]] ako između njih postoji [[bijekcija]]. Za sam skup prirodnih brojeva i bilo koju njegovu bijektivnu sliku kaže se da je ''[[Prebrojiv skup|prebrojivo beskonačan]]'' i da ima [[kardinalnost]] [[Alef broj|alef-nula]], <math>\aleph_0 </math>.
* Prirodni brojevi također se koriste kao [[Redni broj (gramatika)|lingvistički redni brojevi]]: prvi, drugi, treći, četvrti, i dalje redom. Na taj se način mogu pripisati elementima potpuno uređenog konačnog skupa, kao i elementima bilo kojeg [[Dobro uređen skup|dobro uređenog]] prebrojivo beskonačnog skupa.

Za [[Konačan skup|konačne]] dobro uređene skupove postoji korespondencija između rednih i kardinalnih brojeva; i jedni i drugi mogu se izraziti istim prirodnim brojem, brojem elemenata skupa. Ovaj se broj također može koristiti za opisivanje položaja elementa u većem konačnom ili beskonačnom [[niz]]u.

== Formalne definicije ==
Postoje dva standardna načina formalnog definiranja prirodnih brojeva. Prva, nazvana po [[Giuseppe Peano|Giuseppeu Peanu]], sastoji se od [[Aksiomatski sustav|aksiomatske teorije]] zvane Peanova aritmetika, koja se temelji na [[Peanovi aksiomi|Peanovim aksiomima]].

Druga definicija temelji se na [[Teorija skupova|teoriji skupova]]: svaki prirodni broj n definiran je kao eksplicitno definiran skup čiji elementi dopuštaju prebrojavanje elemenata drugih skupova, u smislu da izjava »skup S ima n elemenata« znači da postoji preslikavanje jedan-na-jedan ([[bijekcija]]) između dva skupa n i S.

Skupovi korišteni za definiranje prirodnih brojeva zadovoljavaju Peanove aksiome. Iz toga slijedi da se svaki [[Poučak|teorem]] koji se može izreći i dokazati u Peanovoj aritmetici također može dokazati u teoriji skupova. Međutim, ove dvije definicije nisu ekvivalentne pa postoje teoremi koji se mogu izraziti u smislu Peanove aritmetike i dokazati u teoriji skupova, a koji se ne mogu ''dokazati'' unutar Peanove aritmetike.

Definicija prirodnih brojeva kao skupova koji zadovoljavaju Peanove aksiome daje model Peanove aritmetike unutar teorije skupova. Važna posljedica jest to da je Peanova aritmetika dosljedna ako je teorija skupova dosljedna (kao što se obično nagađa). Drugim riječima, ako bi se kontradikcija mogla dokazati u Peanovoj aritmetici, onda bi teorija skupova bila kontradiktorna, a svaki teorem teorije skupova bio bi i točan i pogrešan.

=== Peanovi aksiomi ===
U suvremenim izvorima navodi se pet [[Peanovi aksiomi|Peanovih aksioma]], ne uvijek na isti način:

# 0 je prirodni broj
# Svaki prirodni broj ima sljedbenika koji je također prirodni broj
# 0 nije sljedbenik nijednog prirodnog broja
# Ako je sljedbenik broja <math> x </math> jednak sljedbeniku broja <math> y </math>, onda su <math> x</math> i <math> y</math> jednaki
# [[Aksiom matematičke indukcije]]: Ako je iskaz točan za 0, i ako istinitost tog iskaza za jedan broj implicira njegovu istinitost za sljedbenika tog broja, tada je iskaz istinit za svaki prirodni broj.

Ovo nisu izvorni aksiomi koje je objavio Peano, ali su nazvani njemu u čast. Neki oblici Peanovih aksioma imaju 1 umjesto 0. U običnoj aritmetici, nasljednik od <math> x</math> je <math> x + 1</math>.

=== Definicija u teoriji skupova ===
Intuitivno, prirodni broj n zajedničko je svojstvo svih [[skup]]ova koji imaju n elemenata. Čini se prirodnim definirati n kao [[Klasa ekvivalencije|klasu ekvivalencije]] pod relacijom »može se staviti u korespondenciju jedan-na-jedan (bijekciju). Nažalost, to ne funkcionira u [[Teorija skupova|teoriji skupova]] jer takva klasa ekvivalencije ne bi bila skup (zbog [[Russellov paradoks|Russellova paradoksa]]). Standardno rješenje je definirati određen skup s n elemenata koji će se zvati prirodnim brojem n.

Sljedeću definiciju prvi je objavio [[John von Neumann]],<ref name="vonNeumann1923pp199-208">{{Harvp|von&nbsp;Neumann|1923}}</ref> iako Levy pripisuje ideju neobjavljenom radu Zermela iz 1916.<ref name="Levy">{{Harvp|Levy|1979}}</ref> Budući da se definicija proširuje na [[beskonačan skup]] kao definicija rednoga broja, skupovi koji se razmatraju u nastavku ponekad se nazivaju von Neumannovim ordinalima.

Definicija polazi od sljedećega:

* Nazovimo 0={}, što je [[Prazni skup|prazan skup]]
* Definirajmo ''sljedbenika'' S(a) bilo kojeg skupa ''a'' sa S(a)=a U {a}
* Prema aksiomu beskonačnosti, postoje skupovi koji sadrže 0 i [[Zatvorenost (matematika)|zatvoreni]] su u odnosu na funkciju sljedbenika. Za takve se skupove kaže da su ''induktivni''. Presjek svih induktivnih skupova i dalje je induktivan skup.
* Ovaj presjek skup je ''prirodnih brojeva''.

Slijedi da se prirodni brojevi definiraju iterativno na sljedeći način:

* 0 = { }
* 1 = 0 {{Matematika|∪}}<nowiki>{0} = {0} = {{ }}</nowiki>
* 2 = 1 {{Matematika|∪}}<nowiki>{1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}}</nowiki>
* 3 = 2 {{Matematika|∪}}{2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, <nowiki>{{ }, {{ }}}}</nowiki>
* …

: 

Može se pokazati da tako definirani prirodni brojevi zadovoljavaju Peanove aksiome.

S ovom definicijom, s obzirom na prirodni broj {{Matematika|''n''}}, izjava »skup S ima n elemenata« može se formalno definirati kao »postoji [[bijekcija]] iz n u S«. To formalizira operaciju ''prebrojavanja'' elemenata od S. Također, {{Matematika|''n'' ≤ ''m''}} ako i samo ako je {{Matematika|''n''}} [[podskup]] od {{Matematika|''m''}}. Drugim riječima, [[Podskup|uključivanje skupa]] definira uobičajeni [[Totalno uređen skup|ukupni poredak]] prirodnih brojeva. Ovaj poredak je [[Dobro uređen skup|dobar poredak]].

Iz definicije proizlazi da je svaki prirodni broj jednak skupu svih prirodnih brojeva manjih od njega. Ova se definicija može proširiti na von Neumannovu definiciju ordinala za definiranje svih rednih brojeva, uključujući one beskonačne: svaki ordinal je dobro uređen skup svih manjih ordinala.

Ako se ne prihvati [[aksiom beskonačnosti]], prirodni brojevi možda neće činiti skup. Unatoč tome, prirodni brojevi još uvijek se mogu pojedinačno definirati kao gore, i oni još uvijek zadovoljavaju Peanove aksiome.

== Bilješke ==
<references group="lower-alpha"/>

== Izvori ==
{{izvori}}

== Bibliografija ==
{{Refbegin}}
* {{cite book
 |last=Bluman
 |first=Allan
 |year=2010
 |edition=2.
 |title=Pre-Algebra DeMYSTiFieD
 |publisher=McGraw-Hill Professional
 |isbn=978-0-07-174251-1
 |url=https://books.google.com/books?id=oRLc9r4bmSgC
 |via=Google Books
 }}
* {{cite book
 |last=Carothers
 |first=N.L.
 |year=2000
 |title=Real Analysis
 |publisher=Cambridge University Press
 |isbn=978-0-521-49756-5
 |via=Google Books
 |url=https://books.google.com/books?id=4VFDVy1NFiAC&q=%22natural+numbers%22
 }}
* {{cite book
 |last1=Clapham
 |first1=Christopher
 |last2=Nicholson
 |first2=James
 |year=2014
 |edition=5.
 |title=The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
 |publisher=Oxford University Press
 |isbn=978-0-19-967959-1
 |via=Google Books
 |url=https://books.google.com/books?id=c69GBAAAQBAJ
 }}
* {{cite book
 |last=Dedekind
 |first=Richard
 |translator-last=Beman
 |translator-first=Wooster Woodruff
 |orig-year=1901
 |year=1963
 |edition=reprint
 |title=Essays on the Theory of Numbers
 |publisher=Dover Books
 |isbn=978-0-486-21010-0
 |via=Archive.org
 |url=https://archive.org/details/essaysontheoryof0000dede
 }}
** {{cite book
 |author-first=Richard
 |author-last=Dedekind
 |translator-first=Wooster Woodruff
 |translator-last=Beman
 |year=1901
 |title=Essays on the Theory of Numbers
 |publisher=Open Court Publishing Company
 |place=Chicago, IL
 |via=Project Gutenberg
 |url=https://www.gutenberg.org/ebooks/21016
 |access-date=13 August 2020
 }}
** {{cite book  |last=Dedekind |first=Richard   |orig-year=1901 |year=2007  |title=Essays on the Theory of Numbers  |publisher=Kessinger Publishing, LLC  |isbn=978-0-548-08985-9}}
* {{cite book
 |last=Eves
 |first=Howard
 |year=1990
 |edition=6.
 |title=An Introduction to the History of Mathematics
 |publisher=Thomson
 |isbn=978-0-03-029558-4
 |via=Google Books
 |url=https://books.google.com/books?id=PXvwAAAAMAAJ
 }}
* {{cite book
 |last=Halmos
 |first=Paul
 |year=1960
 |title=Naive Set Theory
 |publisher=Springer Science & Business Media
 |isbn=978-0-387-90092-6
 |via=Google Books
 |url=https://books.google.com/books?id=x6cZBQ9qtgoC&q=peano+axioms&pg=PP1
 }}
* {{cite book
 |last=Hamilton
 |first=A.G.
 |year=1988
 |edition=
 |title=Logic for Mathematicians
 |publisher=Cambridge University Press
 |isbn=978-0-521-36865-0
 |via=Google Books
 |url=https://books.google.com/books?id=TO098EjWT38C&q=peano%27s+postulates
 }}
* {{cite book
 |last1=James
 |first1=Robert C.
 |last2=James
 |first2=Glenn
 |year=1992
 |edition=5.
 |title=Mathematics Dictionary
 |publisher=Chapman & Hall
 |isbn=978-0-412-99041-0
 |via=Google Books
 |url=https://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC
 }}
* {{cite book
 |last=Landau
 |first=Edmund
 |year=1966
 |edition=3.
 |title=Foundations of Analysis
 |publisher=Chelsea Publishing
 |isbn=978-0-8218-2693-5
 |via=Google Books
 |url=https://books.google.com/books?id=DvIJBAAAQBAJ
 }}
* {{cite book  |last=Levy |first=Azriel   |year=1979   |title=Basic Set Theory  |publisher=Springer-Verlag Berlin Heidelberg  |isbn= 978-3-662-02310-5}}
* {{cite book
 |last1=Mac Lane
 |first1=Saunders
 |last2=Birkhoff
 |first2=Garrett
 |year=1999
 |edition=3.
 |title=Algebra
 |publisher=American Mathematical Society
 |isbn=978-0-8218-1646-2
 |via=Google Books
 |url=https://books.google.com/books?id=L6FENd8GHIUC&q=%22the+natural+numbers%22&pg=PA15
 }}
* {{cite book
 |last=Mendelson
 |first=Elliott
 |orig-year=1973
 |year=2008
 |title=Number Systems and the Foundations of Analysis
 |publisher=Dover Publications
 |isbn=978-0-486-45792-5
 |via=Google Books
 |url=https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC
 }}
* {{cite book
 |last=Morash
 |first=Ronald P.
 |year=1991
 |edition=2.
 |title=Bridge to Abstract Mathematics: Mathematical proof and structures
 |publisher=Mcgraw-Hill College
 |isbn=978-0-07-043043-3
 |via=Google Books
 |url=https://books.google.com/books?id=fH9YAAAAYAAJ
 }}
* {{cite book
 |last1=Musser
 |first1=Gary L.
 |last2=Peterson
 |first2=Blake E.
 |last3=Burger
 |first3=William F.
 |year=2013
 |edition=10.
 |title=Mathematics for Elementary Teachers: A contemporary approach
 |publisher=Wiley Global Education
 |isbn=978-1-118-45744-3
 |via=Google Books
 |url=https://books.google.com/books?id=b3dbAgAAQBAJ
 }}
* {{cite book
 |last1=Szczepanski
 |first1=Amy F.
 |last2=Kositsky
 |first2=Andrew P.
 |year=2008
 |title=The Complete Idiot's Guide to Pre-algebra
 |publisher=Penguin Group
 |isbn=978-1-59257-772-9
 |via=Google Books
 |url=https://books.google.com/books?id=wLA2tlR_LYYC
 }}
* {{cite book
 |last1=Thomson
 |first1=Brian S.
 |last2=Bruckner
 |first2=Judith B.
 |last3=Bruckner
 |first3=Andrew M.
 |year=2008
 |edition=2.
 |title=Elementary Real Analysis
 |publisher=ClassicalRealAnalysis.com
 |isbn=978-1-4348-4367-8
 |via=Google Books
 |url=https://books.google.com/books?id=vA9d57GxCKgC
 }}
* {{cite journal
 |last=von Neumann
 |first=John
 |year=1923
 |title=Zur Einführung der transfiniten Zahlen
 |trans-title=On the Introduction of the Transfinite Numbers
 |journal=Acta Litterarum AC Scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio Scientiarum Mathematicarum
 |volume=1
 |pages=199–208
 |url=http://acta.fyx.hu/acta/showCustomerArticle.action?id=4981&dataObjectType=article&returnAction=showCustomerVolume&sessionDataSetId=39716d660ae98d02&style=
 |url-status=dead
 |access-date=15 September 2013
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141218090535/http://acta.fyx.hu/acta/showCustomerArticle.action?id=4981&dataObjectType=article&returnAction=showCustomerVolume&sessionDataSetId=39716d660ae98d02&style=
 |archive-date=18 December 2014
 }}
* {{cite book
 |author-last=von&nbsp;Neumann
 |author-first=John
 |editor-first=Jean
 |editor-last=van Heijenoort
 |orig-year=1923
 |date=January 2002
 |edition=3.
 |title=From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879–1931
 |chapter=On the introduction of transfinite numbers
 |pages=346–354
 |isbn=978-0-674-32449-7
 |publisher=Harvard University Press
 |chapter-url=http://www.hup.harvard.edu/catalog.php?isbn=978-0674324497
 |access-date=9. rujna 2023.
 |archive-date=30. lipnja 2022.
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220630173536/https://www.hup.harvard.edu/catalog.php?isbn=978-0674324497
 |url-status=dead
 }} – English translation of {{Harvnb|von&nbsp;Neumann|1923}}.
{{Refend}}

== Vanjske poveznice ==
{{Commonscat-inline|Natural numbers}}
* [https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Natural_number ''Natural number''] Encyclopedia of Mathematics

[[Kategorija:Teorija brojeva]]
[[Kategorija:Brojevi]]