Vidi kôd stranice Pi (broj)


{| class="infobox" style =""
| colspan="2" align="center" | [[Popis brojeva]] – [[Iracionalni brojevi]] s <br> [[Apéry's constant|&zeta;(3)]] – [[Drugi korijen iz 2|√2]] – [[Drugi korijen iz 3|√3]] – [[Drugi korijen iz 5|√5]] – [[Zlatni rez|&phi;]] – [[Feigenbaumova konstanta|&alpha;]] – [[Broj e|e]] – [[Pi|&pi;]] – [[Feigenbaumova konstanta|&delta;]]
|-
|[[Binarni brojevni sustav|Binarno]]
| 11,0010010000111111011…
|-
| [[Dekadski brojevni sustav|Dekadski]]
| 3,14159265358979323846…
|-
| [[heksadekadski brojevni sustav|Heksadekadski]]
| 3,243F6A8885A308D31319…
|-
| Beskonačni [[razlomak]]
| <math>3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \ddots}}}}</math><br><small>Primijeti da niz razlomaka nije periodičan.</small>
|}
'''Pi''' ili '''π''' je [[matematička konstanta]], danas široko primjenjivana u [[Matematika|matematici]] i [[Fizika|fizici]]. Definira se kao odnos opsega i promjera [[krug]]a. Pi je također poznat i kao '''Arhimedova konstanta''' (ne treba ga miješati s Arhimedovim brojem) ili '''Ludolfov broj'''. U praksi se bilježi malim grčkim slovom π, a u [[Hrvatski jezik|hrvatskom jeziku]] je pravilno pisati i pi.

Numerička vrijednost pi zaokružena na 64 decimalna mjesta je:
:π ≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923

[[Datoteka:Pi-unrolled-720.gif|center|mini|300px|Broj pi opisan pomoću jedinične [[kružnica|kružnice]]]]


{{-}}
== Neke formule u kojima se pojavljuje pi (π) ==
{| cellspacing="4" cellpadding="4" style="border-collapse: collapse;"
!Geometrijski oblik
!Formula
|-
|[[Opseg]] kruga [[Polumjer|polumjera]] ''r'' odnosno [[Promjer|promjerа]] ''d''
|<math>O = \pi d = 2 \pi r \,\!</math>
|-
|[[Površina (geometrija)|Površinа]] kruga polumjerа ''r''
|<math>P = \pi r^2 \,\!</math>
|-
|Površinа [[elipsa|elipse]] s poluosima ''a'' i ''b''
|<math>P = \pi a b \,\!</math>
|-
|[[Obujam]] kugle polumjerа ''r''
|<math>V = \frac{4}{3} \pi r^3 \,\!</math>
|-
| Površinа kugle polumjerа ''r''
|<math>P = 4 \pi r^2 \,\!</math>
|-
|Obujam [[valjak|valjka]] visine ''H'' i polumjerа ''r''
|<math>V = \pi r^2 H \,\!</math>
|-
|Površina valjka visinе ''H'' i polumjerа ''r''
|<math>P = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) H = 2 \pi r (r + H) \,\!</math>
|-
|Obujam [[stožac|stošca]] visinе ''H'' i polumjerа ''r''
|<math>V = \frac{1}{3} \pi r^2 H \,\!</math>
|-
| Površinа stošca visine ''H'' i polumjerа ''r''
|<math>P = \pi r \sqrt{r^2 + H^2} + \pi r^2 =  \pi r (r + \sqrt{r^2 + H^2}) \,\!</math>
|}

== Osnove ==

=== Definicija ===
Broj π se definira kao omjer opsega i promjera kružnice.
:<math> \pi = \frac{O}{2r} </math>

Primijetite da omjer <sup>''O''</sup>/<sub>''d''</sub> ne ovisi o veličini kruga.

Druga pak definicija proizlazi iz površine kruga. Pi je omjer površine kruga i kvadrata radijusa:
:<math> \pi = \frac{A}{r^2} </math>

=== Iracionalnost ===
{{glavni|Dokaz da je π iracionalan broj}}
Konstanta π je iracionalan broj koji se ne može definirati omjerom dva cijela broja.
To je 1761. godine dokazao [[Johann Heinrich Lambert]].
Dokazi izvedeni u 20. stoljeću vrlo često zahtijevaju znanje integralnog računa i visoke matematike općenito.

=== Računanje broja π ===
'''π''' se može [[empirizam|empirijski]] procijeniti crtanjem velikog kruga, zatim mjerenjem njegovog promjera i opsega te dijeljenjem opsega promjerom. Drugo geometrijski zasnovano približenje po [[Arhimed]]u,<ref name="NOVA">{{Citiranje weba|ime=Rick |prezime=Groleau |url=http://www.pbs.org/wgbh/nova/archimedes/pi.html |naslov=Infinite Secrets: Approximating Pi |izdavač=NOVA |godina=2003 |preuzeto=2007-11-04}}</ref> računanje opsega, ''P<sub>n</sub>'', [[Geometrija#Pravilna geometrijska tijela (pravilni poliedri)|pravilnog mnogokuta]] s ''n'' stranica upisanih u kružnicu promjera ''d''. Tako se dobije

:<math>\pi = \lim_{n \to \infty}\frac{P_{n}}{d}</math>

Postoje i čisto numeričke metode za računanje π. No, u većini slučajeva one su posve nedokučive geometrijskoj intuiciji jer koriste razne jednakosti koje povezuju [[algebra|algebru]], [[trigonometrija|trigonometriju]] i druga područja matematike, a u kojima se (katkada neočekivano) pojavljuje π. Primjer je suma niza recipročnih kvadrata prirodnih brojeva - tzv. [[Baselski problem]], čije je rješenje [[Leonhard Euler|Euleru]] dalo motivaciju za [[Riemannova zeta-funkcija|Riemannovu zeta-funkciju]]:<ref>{{Citiranje weba|title=An infinite series of surprises|url=https://plus.maths.org/content/infinite-series-surprises|access-date=2022-09-18|website=Plus Maths|language=en}}</ref>

:<math>\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6}</math>

Jednu relativno jednostavnu metodu koja koristi nizove otkrili su [[Gottfried Leibniz]] i [[James Gregory]]:<ref>{{Citiranje knjige|last=Eymard|first=Pierre|url=https://www.worldcat.org/oclc/53434668|title=The number [pi]|date=2004|publisher=American Mathematical Society|others=J. P. Lafon|isbn=0-8218-3246-8|location=Providence, R.I.|pages=53|oclc=53434668}}</ref>
:<math>\pi = \frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}\cdots\! </math>.

Navedeni niz je lagan za izračun, no nije odmah uočljivo da je rezultat π. Štoviše, ovaj niz konvergira tako sporo da je nužno preko 300 članova kako bi se dobile točne 2 decimale.<ref>{{Citiranje časopisa|url=http://www.scm.org.co/Articulos/832.pdf |format=PDF |title=Even from Gregory-Leibniz series &pi; could be computed: an example of how convergence of series can be accelerated |journal=Lecturas Mathematicas |volume=27 |year=2006 |pages=21-25 |first=Vito |last=Lampret |language=English, Spanish |archive-url=https://web.archive.org/web/20071128201346/http://www.scm.org.co/Articulos/832.pdf |archive-date=28. studenoga 2007. |access-date=1. svibnja 2008.}}</ref>

== Povijest ==
{{glavni|Numeričke aproksimacije broja π}}

Povijest spoznaja o broju π teče usporedno s razvojem same matematike.<ref>{{Citiranje knjige|last=Beckmann|first=Petr|url=https://www.worldcat.org/oclc/20761271|title=A history of [pi] (pi)|date=1971|publisher=St. Martin's Press|isbn=0-312-38185-9|location=New York|oclc=20761271}}</ref> Neki autori napredak na tom polju dijele na tri razdoblja: antičko-u kojem je računat geometrijski, klasično- kojem se računalo pomoću više matematike u Europi oko [[17. stoljeće|17. stoljeća]] te na treće razdoblje-razdoblje digitalnog računanja na računalima.<ref>{{Citiranje weba|title=Constants-Pi|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/pi.html|url-status=live|access-date=2022-09-18|website=numbers.computation.free.fr}}</ref>

=== Geometrijsko razdoblje ===
Činjenica da je omjer opsega kružnice i promjera isti za sve kružnice te da iznosi malo više od 3 bila je poznata i u antičkim vremenima. Tu su činjenicu znali egipatski, babilonski, indijski i grčki matematičari. Najranija poznata aproksimacija datira oko 1900. prije Krista. Ona iznosi 25/8 (Babilon) te 256/81 (Egipat), obje unutar 1 % odstupanja o stvarne vrijednosti.<ref>{{Citiranje weba|title=Pi|url=http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pi.html|url-status=live}}</ref> Indijski tekst Shatapatha Brahmana definira vrijednost π kao 339/108&nbsp;≈ 3,139.<ref>{{Citiranje weba|title=Dan broja π|url=https://www.profil-klett.hr/dan-broja-p-0|access-date=2022-09-18|website=Profil Klett|language=hr}}</ref> [[Tanah]] predlaže u [[Prva knjiga o Kraljevima|Knjizi o kraljevima]] da je π = 3. Ta je vrijednost uočljivo netočnija od približenja dostupnih iz tog vremena (600. prije Krista).<ref>{{Citiranje weba|last=Aleff|first=H. Peter|date=|title=Ancient Creation Stories told by the Numbers|url=http://recoveredscience.com/const303solomonpi.htm|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20071014201334/http://recoveredscience.com/const303solomonpi.htm|archive-date=14. listopada 2007.|access-date=18. rujna 2022.}}</ref><ref name="ahop">{{Citiranje weba|title=Pi history|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/|access-date=2022-09-18|website=Maths History|language=en}}</ref>

Arhimed sa Sirakuze (287. – 212. pr. Kr.) je bio prvi koji je točno procijenio vrijednost broja π. Shvatio je kako njegova vrijednost može biti određena upisivanjem pravilnih mnogokuta unutar kruga.
[[Datoteka:Archimedes pi.svg|350px|središte]]

Kako bi izračun bio što točniji trebalo je rabiti mnogokut sa što više kutova. Koristeći se 96-stranim mnogokutom dokazao je da je 223/71 &lt; π &lt; 22/7.<ref name="ahop"/> 
 
U sljedećim stoljećima, najveći napredak na tom polju ostvaren je u Indiji i Kini. Oko [[265.]] godine matematičar [[Liu Hui]] iz kraljevstva Wei otkrio je jednostavan i točan algoritam za izračun broja pi do bilo koje razine točnosti. On je računao s mnogokutom od 3072 stranice i dobio rezultat pi=3,1416.
:<math>\begin{align}
\pi \approx A_{3072} & {} = 768 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2+1}}}}}}}}} \\
& {} \approx 3,14159.
\end{align}</math>
[[Datoteka:Cutcircle2.svg|mini|desno|250px|Liu Huijev algoritam aproksimira π pomoću površina niza mnogokuta sa sve većim brojem stranica]]

Kasnije je Liu Hui izmislio [[Liu Huijev π algoritam]] te postigao π=3,1416 koristeći mnogokut od samo 96 stranica, rabeći prednost činjenice da razlika u površinama uzastopnih poligona tvori geometrijski niz s faktorom 4.

Oko 480. godine kineski matematičar [[Zu Chongzhi]] dao je aproksimaciju π=355/113 te pokazao da je 3,1415926 < π < 3,1415927. To je dobio rabeći [[Liu Huijev π algoritam]] za poligon od 12288 stranica. To će se pokazati najtočnijim izračunom broja u sljedećih 900 godina.

=== Klasično razdoblje ===

Do drugog tisućljeća π je bio poznat na manje od 10 decimalnih mjesta. Sljedeći glavni napredak dogodio se pojavom više matematike te posebice otkrićem beskonačnih nizova. Ti nizovi teoretski dopuštaju izračun π do bilo koje željene vrijednosti dodavanjem potrebnog broja članova. Oko godine 1400-te, [[Madhava iz Sangamagrama]] je otkrio prvi poznati niz takve vrste:
:<math>\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\!</math>

Ne toliko poznata kao [[James Gregory|Gregory]]-[[Gottfried Leibniz|Leibniz]]ova formula:
:<math>\pi = \sqrt{12} \, \left(1-\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots\right)\!</math>

Madhava je uspio izračunati do sljedeće točnosti na 11 decimalnih mjesta:
* π = 3,14159265359 .

Rekord je [[1424.]] godine potukao perzijski astronom [[Jamshīd al-Kāshī]], koji je izračunao 16 decimala broja π.

Prvi veliki napredak u izračunu broja π nakon Arhimeda je napravio njemački matematičar [[Ludolph van Ceulen]] (1540.&ndash;1610.), koji je rabio Arhimedovu metodu te pomoću mnogokuta sa 60&middot;20<sup>29</sup> stranica kako bi izračunao 35 decimala broja π. Bio je tako ponosan na izračun, koji je zahtijevao veći dio njegovog života, da je znamenke dao uklesati na svoj nadgrobni spomenik.<ref>{{Citiranje knjige|author=Hutton|first=Charles|url=http://books.google.com/books?id=zDMAAAAAQAAJ&pg=PA13&dq=snell+descartes+date:0-1837&lr=&as_brr=1&ei=rqPgR7yeNqiwtAPDvNEV|title=Mathematical Tables; Containing the Common, Hyperbolic, and Logistic Logarithms...|year=1811|publisher=Rivington|location=London|pages=13}}</ref><ref>{{Citiranje knjige|last=Gleizer|first=Gerš Isakovič.|url=https://www.worldcat.org/oclc/938525731|title=Povijest matematike za školu|year=2003|publisher=Školske novine|others=Boris Pavković, Igor Urbiha, Petar Mladinić, Darko, ilustrator Popović|isbn=953-160-176-3|location=Zagreb|pages=210|oclc=938525731}}</ref>

Otprilike u isto doba, metode više matematike i određivanje beskonačnih nizova počele su izranjati po Europi. Prva od poznatih takve vrste je [[Vièteova formula]],
:<math>\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots\!</math>

koju je otkrio [[François Viète]] godine 1593. Drugi poznati rezultat je [[Wallisov umnožak]],

:<math>\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots\!</math>

kojega je otkrio [[John Wallis]]. Godine [[1655.]] [[Isaac Newton]] je osobno izveo niz za računanje π s kojim je izračunao 15 decimala, iako je kasnije priznao: "Sram me reći vam koliko sam figura rabio za ovaj izračun ne imajući nikakvog drugog posla."<ref>{{Citiranje novina|last=Gleick|first=James|date=1987-03-08|title=EVEN MATHEMATICIANS CAN GET CARRIED AWAY|language=en-US|work=The New York Times|url=https://www.nytimes.com/1987/03/08/weekinreview/even-mathematicians-can-get-carried-away.html|access-date=2022-09-18|issn=0362-4331}}</ref>

Godine [[1706.]] [[John Machin]] je prvi izračunao 100 decimala broja π rabeći formulu:

:<math>\frac{\pi}{4} = 4 \, \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}\!</math>

pritom se koristeći formulom

:<math>\arctan \, x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots\!</math> .

Formule ove vrste, sada poznate pod nazivom [[strojne formule]], su bile korištene za postavljanje nekoliko uspješnih rekorda i ostale zapamćene kao najbolje poznate metode za računanje u doba računala.{{prijevod-eng}}<!--   A remarkable record was set by the calculating prodigy [[Zacharias Dase]], who in 1844 employed a Machin-like formula to calculate 200 decimals of π in his head. The best value at the end of the 19th century was due to [[William Shanks]], who took 15 years to calculate π with 707 digits, although due to a mistake only the first 527 were correct. (To avoid such errors, modern record calculations of any kind are often performed twice, with two different formulas. If the results are the same, they are likely to be correct.)

Theoretical advances in the 18th century led to insights about π's nature that could not be achieved through numerical calculation alone. [[Johann Heinrich Lambert]] proved the irrationality of π in 1761, and [[Adrien-Marie Legendre]] proved in 1794 that also π<sup>2</sup> is irrational. When [[Leonhard Euler]] in 1735 solved the famous [[Basel problem]] &ndash; finding the exact value of

:<math>\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots\!</math>

which is π<sup>2</sup>/6, he established a deep connection between π and the [[prime number]]s. Both Legendre and Leonhard Euler speculated that π might be [[transcendental number|transcendental]], a fact that was proved in 1882 by [[Ferdinand von Lindemann]].

[[William Jones (mathematician)|William Jones]]' book ''A New Introduction to Mathematics'' from [[1706.]] is cited as the first text where the [[pi (letter)|Greek letter π]] was used for this constant, but this notation became particularly popular after [[Leonhard Euler]] adopted it in 1737.<ref>{{citiranje www |url=http://www.famousWelsh.com/cgibin/getmoreinf.cgi?pers_id=737 |naslov=About: William Jones |rad=Famous Welsh |preuzeto=2007-10-27}}</ref> He wrote:
{{cquote|<nowiki>There are various other ways of finding the Lengths or Areas of particular Curve Lines, or Planes, which may very much facilitate the Practice; as for instance, in the Circle, the Diameter is to the Circumference as 1 to (16/5 - 4/239) - 1/3(16/5^3 - 4/239^3) +&nbsp;...&nbsp;=&nbsp;3,14159...&nbsp;=&nbsp;&pi;</nowiki><ref name="adm"/>}}
{{seealso|history of mathematical notation}} -->

=== Izračuni digitalnog doba ===

Pojava digitalnih računala u [[20. stoljeće|20. stoljeću]] dovodi do postavljanja novih rekord u računanju broja π. Koristeći [[ENIAC]], [[John von Neumann]] je izračunao 2037 znamenaka broja π godine 1949. Za taj izračun mu je bilo potrebno 70 sati. Dodatne tisuće decimalnih mjesta dobivene su u sljedećim desetljećima, s prekretnicom godine 1973. kada je izračunata milijunta znamenka.

Napredak nije bio samo posljedica bržih strojeva nego i novih algoritama. Jedan od najznačajnijih napredaka bilo je otkriće [[Fourierova transformacija|Fourierove transformacije]] [[1960.]] koja računalima omogućuje aritmetički izračun ekstremno velikih brojeva vrlo velikom brzinom.

Početkom 20. stoljeća, [[Indija|indijski]] matematičar [[Srinivasa Ramanujan]] je otkrio mnogo novih formula za računanje broja π, od kojih su neke iznimne po svojoj jednostavnosti i matematičkoj pronicljivosti.<ref name="rad">{{Citiranje weba|title=The constant|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piramanujan.html|access-date=2022-09-18|website=numbers.computation.free.fr}}</ref> Dvije njegove najpoznatije formule su:

:<math>\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\!</math>
te
:<math>\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!</math>

koje donose 14 znamenki po izračunu.<ref name="rad"/> Braća Chudnovsky rabila su ovu formulu prilikom nekoliko rekordnih izračuna π krajem 1980-ih, uključujući prvi izračun preko milijardu znamenaka ikad (s 1.011,196.691 znamenaka) u 1989. godini. Dotična formula i dalje je izbor za računanje u programima za računanje broja na osobnim računalima, za razliku od [[superračunala]] koja se rabe za obaranje suvremenih rekorda.
<!--  
Whereas series typically increase the accuracy with a fixed amount for each added term, there exist iterative algorithms that ''multiply'' the number of correct digits at each step, with the downside that each step generally requires an expensive calculation. A breakthrough was made in 1975, when [[Richard Brent]] i [[Eugene Salamin]] independently discovered the [[Gauss-Legendre algorithm|Brent-Salamin algorithm]], which uses only arithmetic to double the number of correct digits at each step.<ref name="brent">{{Citation |last=Brent |first=Richard |author-link=Richard Brent (scientist) |year=1975 |title=Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation |periodical=Analytic Computational Complexity |publication-place=New York |publisher=Academic Press |editor-last=Traub |editor-first=J F |pages=151–176 |url=http://wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html |accessdate=2007-09-08}}</ref> The algorithm consists of setting

:<math>a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad \quad \quad p_0 = 1\!</math>

and iterating

:<math>a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}\!</math>
:<math>t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n\!</math>

until ''a<sub>n</sub>'' and ''b<sub>n</sub>'' are close enough. Then the estimate for π is given by

:<math>\pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}\!</math>.

Using this scheme, 25 iterations suffice to reach 45 million correct decimals. A similar algorithm that quadruples the accuracy in each step has been found by [[Jonathan Borwein|Jonathan]] and [[Peter Borwein]].<ref>{{cite book |last1=Borwein |first1=Jonathan M |last2=Borwein |first2=Peter |last3=Berggren |first3=Lennart |year=2004 |title=Pi: A Source Book |publisher=Springer |isbn=0387205713}}</ref> The methods have been used by [[Yasumasa Kanada]] and team to set most of the π calculation records since 1980, up to a calculation of 206,158,430,000 decimals of π in 1999. The current record is 1,241,100,000,000 decimals, set by Kanada and team in 2002. Although most of Kanada's previous records were set using the Brent-Salamin algorithm, the 2002 calculation made use of two Machin-like formulas that were slower but crucially reduced memory consumption. The calculation was performed on a 64-node Hitachi supercomputer with 1 [[terabyte]] of main memory, capable of carrying out 2 trillion operations per second.

An important recent development was the [[Bailey-Borwein-Plouffe formula]] (BBP formula), discovered by [[Simon Plouffe]] and named after the authors of the paper in which the formula was first published, [[David H. Bailey]], [[Peter Borwein]], and Plouffe.<ref name="bbpf">{{cite journal |author=Bailey, David H., Borwein, Peter B., and Plouffe, Simon |year=1997 |month=April |title=On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants |journal=Mathematics of Computation |volume=66 |issue=218 |pages=903–913 |url=http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf |format=PDF}}</ref> The formula,

:<math>\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right),</math>

is remarkable because it allows extracting any individual [[hexadecimal]] or [[Binary numeral system|binary]] digit of π without calculating all the preceding ones.<ref name="bbpf"/> Between 1998 and 2000, the [[distributed computing]] project [[PiHex]] used a modification of the BBP formula due to [[Fabrice Bellard]] to compute the [[Orders of magnitude (numbers) #1015|quadrillionth]] (1,000,000,000,000,000:th) bit of π, which turned out to be 0.<ref>{{citiranje www |url=http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_bin/pi_bin.html |naslov=A new formula to compute the n<sup>th</sup> binary digit of pi |ime=Fabrice |prezime=Bellard |autorlink=Fabrice Bellard |preuzeto=2007-10-27}}</ref>
 -->

== Pamćenje znamenki ==
[[Pifilologija]] je umijeće pamćenja velikog broja znamenki broja {{pi}}.<ref name="A445">{{Citiranje knjige|last=Arndt|first=Jörg|url=https://www.worldcat.org/oclc/492472558|title=À la poursuite de [pi]|last2=Haenel|first2=Cristoph|date=|publisher=Vuibert|others=Henri Lemberg, François,. Guénard, Impr. Grapho|year=2006|isbn=9782711771707|location=Paris|pages=44-45|oclc=492472558}}</ref> Rekord u pamćenju znamenki broja {{pi}}, prema [[Guinnessova knjiga rekorda|Guinnessovoj knjizi rekorda]], je 70 000 znamenki, koje je 21. ožujka 2015. u Indiji izrecitirao Rajveer Meena. Za pothvat mu je trebalo 9 sati i 27 minuti.<ref>{{Citiranje weba|title=Most Pi places memorized|url=https://www.guinnessworldrecords.com/world-records/most-pi-places-memorised|access-date=2022-09-18|website=Guinness World Records|language=en-gb}}</ref> Jedna od poznatijih tehnika za pamćenje broja pi je tzv. ''piema'' (poema + pi), gdje pamtimo stihove, a broj slova u svakoj riječi odgovara znamenci broja pi na tom mjestu.

== Napredna svojstva ==

== Uporaba u matematici i znanosti ==

== Izvori ==
{{izvori|30em}}

{{mrva-mat}}

[[Kategorija:Brojevi]]