Vidi kôd stranice Paradoks Banacha i Tarskoga

{{nedostaju izvori}}
[[Datoteka:Banach-Tarski_Paradox.svg|desno|mini|350x350px|Može li se kugla rastaviti u konačan broj točaka skupa i ponovo sastaviti se u dvije kugle identične originalu?]]
'''Paradoks Banacha i Tarskoga''' [[teorem]] je iz [[Teorija skupova|teorije skupova]] [[Geometrija|geometrije]] u kojem se navodi sljedeće: Za [[kugla|kuglu]] iz trodimenzionalnog prostora postoji razložba te kugle u konačan broj zasebnih podskupova koji se onda mogu ponovno sastaviti na drugačiji način da daju dvije jednake kopije originalne kugle. Doista, proces montaže uključuje samo kretanje figura i njihovo okretanje, bez promjene njihova oblika. Međutim, ovi komadi nisu sami po sebi  "čvrsta tijela", već beskonačno raspršene točke. Rekonstrukcija se može izvesti i sa samo 5 komada.<ref><cite class="citation journal">Tao, Terence (2011).</cite></ref>

Jači oblik teorema implicira da se bilo koja dva "razumna" tvrda predmeta (na primjer, mala kugla i velika kugla), mogu sklopiti jedan u drugi. To se često neformalno spominje kao izraz "grašak se može izreckati i složiti u sunce" i zove se "paradoks graška i sunca".

Razlog zašto se teorem Banacha i Tarskoga zove [[paradoks]] jest u tome što se suprotstavlja osnovnoj geometrijskoj intuiciji. "Udvostručenje kugle", dijeljenje nje na dijelove i pomicanje tih dijelova [[Vrtnja|rotacijom]] i translacijom, bez ikakvih istezanja, savijanja ili  dodavanja novih točaka čini se nemogućim, jer sve te operacije ''trebaju'', intuitivno gledano, zadržati [[Obujam|volumen]]. Intuicija da te operacije čuvaju zadani volumen nije matematički apsurdna i čak je uključena u formalnu definiciju volumena. Međutim, to nije primjenjivo ovdje, jer zbog njihove velike poroznosti nije moguće odrediti volumen podskupova u pitanju. Njihovo ponovno sklapanje reproducira obujam koji je različit od početnog.

Za razliku od većine teorema u geometriji, dokaz ovog rezultata ovisi o krucijalnom odabiru [[aksiom]]a za teoriju skupova. To može biti dokazano [[Aksiom izbora|aksiomom izbora]] koji omogućava izgradnju [[Nemjerljivi skup|nemjerljivih skupova]], odnosno skupova točaka koje nemaju volumen u uobičajenom smislu te čija izgradnja zahtijeva bezbroj opcija.<ref>Wagon, Corollary 13.3</ref>

Prikazano je 2005. da postoji način kojim se dijelovi nastali razlaganjem mogu pomicati i slagati bez sudaranja.

Poučak Banacha i Tarskoga jedan je od čudnih posljedica [[aksiom izbora|aksioma izbora]]. Sastavljen je [[znanost u 1924.|1924.]] godine. Neka je ''k'' ma kako mala, a ''K'' ma kako velika [[kugla]]. Tada postoje [[particija skupa|particije]]:<ref>[https://www.math.pmf.unizg.hr/sites/default/files/pictures/2004-neki-osnovni-pojmovi-skupovi.pdf Prirodoslovno matematički fakultet u Zagrebu] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191008191114/https://www.math.pmf.unizg.hr/sites/default/files/pictures/2004-neki-osnovni-pojmovi-skupovi.pdf |date=8. listopada 2019. }} Mladen Vuković: Neki osnovni pojmovi teorije skupova, 2004. str.  6 (pristupljeno 20. studenoga 2019.)</ref>

<math> k = k_1 \cup ... \cup k_n </math> <big> i </big><math>K = K_1 \cup... \cup K_n </math>

pri čemu vrijedi da je <math>k_1</math> [[kongruentnost|kongruentno]] <math>K_i</math>  odnosno postoji [[bijekcija]] koja čuva udaljenost) za sve <math>i= 1,...n</math>.

== Napomene ==
<div class="reflist" style="list-style-type: decimal;">
{{izvori}}</div>

[[Kategorija:Teorija skupova]]
[[Kategorija:Geometrija]]
[[Kategorija:Paradoksi]]
[[Kategorija: Matematički poučci]]