Vidi kôd stranice Navier-Stokesove jednadžbe

'''Navier-Stokesove jednadžbe''' diferencijalne su jednadžbe [[Hidrodinamika|dinamike fluida]] koje se koriste za izračun gibanja [[viskoznost|viskoznih]] [[fluid|fluida]].

Ime su dobile po francuskom inženjeru i fizičaru [[Claude-Louis Navier|Claude-Louisu Navieru]] i irskom fizičaru i matematičaru [[George Gabriel Stokes|Georgeu Gabrielu Stokesu]]. Razvijane su tijekom nekoliko desetljeća, od 1822. (Navier) do 1842.-1850. (Stokes). Prve korake u tom smjeru napravio je još [[Leonhard Euler]] sa svojim Eulerovim jednadžbama iz 1757. godine.<ref>Euler, Leonhard (1757). "Principes généraux du mouvement des fluides" [The General Principles of the Movement of Fluids]. Mémoires de l'académie des sciences de Berlin (in French). 11: 274–315</ref>

Navier–Stokesove jednadžbe izražavaju zakon očuvanja [[količina gibanja|količine gibanja]] za newtonovske tekućine i koriste zakon očuvanje [[masa|mase]]. Korisne su jer opisuju fiziku mnogih fenomena od znanstvenog i inženjerskog interesa. Mogu se koristiti za modeliranje vremena, oceanskih struja, protoka vode u cijevi i strujanja zraka oko krila. Navier–Stokesove jednadžbe, u svojim potpunim i pojednostavljenim oblicima, pomažu pri projektiranju zrakoplova i automobila, proučavanju protoka krvi, projektiranju elektrana, analizi onečišćenja i mnogim drugim problemima. Zajedno s [[Maxwellove jednadžbe|Maxwellovim jednadžbama]] mogu se koristiti za modeliranje i proučavanje [[Magnetohidrodinamika|magnetohidrodinamike]].

Matematički su vrlo komplicirane. Čine sustav nelinearnih parcijalnih [[Diferencijalne jednadžbe|diferencijalnih jednadžbi]] koji u općem smislu, za proizvoljne početne i rubne uvjete nema analitičkog rješenja. Jednadžbe se mogu rješiti samo numeričkim metodama, ali i tamo stabilnost i konvergencija rješenja nije sigurna za proizvoljne početne uvjete. Štoviše, matematički insitut Clay nudi nagradu od milijun [[dolar|dolara]] onome tko pokaže da glatka rješenja uvijek postoje u tri dimenzije. To je jedan od sedam milenijskih problema u matematici.<ref> "Navier-Stokes Equation". Clay Mathematics Institute. Retrieved 2023-12-24</ref>

==Opće jednadžbe mehanike kontinuuma==

Navier–Stokesove jednadžbe se izvode pomoću Cauchyevih jednadžbi očuvanja količine gibanja<ref> Acheson, D. J. (1990). Elementary Fluid Dynamics. Oxford University Press. p. 205. ISBN 0-19-859679-0.</ref>


:<math> \frac{\mathrm{D} \mathbf{u}}{\mathrm{D} t} = \frac 1 \rho \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{g}</math>

Lijeva strana tu predstavlja materijalnu derivaciju [[vektor|vektora]] [[brzina|brzine]] <math>\mathbf{u}</math>, <math>\rho</math> predstavlja [[gustoća|gustoću]] fluida,<math>\nabla</math> je [[Hamiltonov operator]], <math>\boldsymbol{\sigma}</math> je Cauchyev [[tenzor]] [[naprezanje|naprezanja]], a <math>\mathbf{g}</math> [[gravitacija|gravitacijsko ubrzanje]]. 

Materijalna derivacija je nelinearni operator i definira se kao 

:<math>\frac{D}{Dt} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla </math>

==Zakon očuvanja mase==

Općenito se zakoni očuvanja u fizici opisuju diferencijalnom jednadžbom kontinuiteta

:<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0</math>

Tu je<math>\nabla \cdot</math> [[Divergencija polja|divergencija polja]], <math>\rho</math> gustoća, <math>\mathbf j</math> je tok gustoće <math>(\mathbf j = \rho \mathbf u)</math>, a <math>t</math> [[Vrijeme (fizika)|vrijeme]]. 

U primjeru strujanja fluida zakon očuvanja mase glasi:

:<math> \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0</math>. 

===Nestlačivi fluidi===

Tekućine su vrlo nestlačive tvari, a za plinove koji se gibaju puno sporije od Machove brzine, također se uzima hipoteza nestlačivosti. Za njih se može uzeti da je <math>\rho = konst.</math> pa jednadžba kontinuiteta prelazi u oblik 

:<math>\nabla \cdot \mathbf u =0 </math> 

odnosno, takvo strujanje opisano je [[Solenoidalno polje|solenoidalnim vektorskim poljem]] brzinā <math>\mathbf u</math>.

==Navier-Stokesove jednadžbe==

Navier-Stokesove jednadžbe najčešće se zapisuju u sljedećem obliku i čine sustav parcijalnih diferencijalnih jednadžbi<ref>Batchelor (1967) str. 174</ref>

:<math>\rho \left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \rho\mathbf{f}</math> 

:<math>\nabla \cdot \mathbf u =0 </math>

Prva jednadžba predstavlja zakon očuvanja količine gibanja i može se rastaviti u tri skalarne parcijalne diferencijalne jednadžbe. Te jednadžbe onda čine sustav od 4 parcijalne diferencijalne jednadžbe s četri nepoznanice, 4 skalarna polja: iznos brzine u smjerovima x, y i z te skalarano polje [[tlak|tlaka]] <math>p</math>. 

U gornjoj jednadžbi <math>\mu</math> predstavlja [[viskoznost]], a <math>\mathbf f</math> masenu [[sila|silu]].{{Pojasniti|što je to?}}

Prva gornja jednadžba se također može shvatiti kao drugi [[Newtonovi zakoni gibanja|Newtonov zakon]], gdje na lijevoj strani stoji masa (gustoća) puta akceleracija (derivacija brzine po vremenu), a na desnoj sve sile koje utječu na česticu fluida koju promatramo.

Analitički oblik rješenja za opći slučaj ne postoji.

==Izvori==
{{izvori}}

[[Kategorija:Dinamika fluida]]