Vidi kôd stranice Limes (matematika)

'''Limes''' je jedan od osnovnih pojmova u [[matematička analiza|matematičkoj analizi]].

== Limes niza ==
Neka je <math>(a_n)</math> [[niz]] realnih ili kompleksnih brojeva. Reći ćemo da niz <math> (a_n) </math> konvergira broju ''L'' (realan ili kompleksan broj) ako vrijedi <math> (\forall \epsilon > 0(\exists n_0 \in \mathbb{N}) (n\in \mathbb{N}, n> n_0 \Rightarrow |a_n - L|< \epsilon)</math>. Možemo to interpretirati na način da kažemo da za dovoljno velike n-ove članovi niza će biti sve bliže broju ''L''. Poznavajući realne nizove možemo poznavati i kompleksne nizove jer vrijedi da kompleksan niz <math> (z_n) </math> možemo pisati kao  <math> z_n=a_n+ib_n </math>, gdje su  <math> a_n </math> i  <math> b_n </math> realni nizovi. Ako niz  <math> z_n </math> konvergira k  <math>z=a+ib </math>, onda vrijedi da je  <math>\lim_{n} a_n=a </math> i isto za niz <math>b_n</math> (što je lako pokazati).

Ako niz realnih brojeva nije konvergentan kažemo da je divergentan.

Limes niza se "dobro" ponaša i na računske operacije. Za nizove  <math> (a_n),(b_n)\subseteq \mathbb{R} </math> takve da  <math>\lim_{n} a_n=A,\lim_{n} b_n=B</math> i <math> c \in \mathbb{R}</math> vrijedi:
: <math> \lim_n (a_n+b_n)=A+B</math>
: <math> \lim_n (c\cdot a_n)=c\cdot A</math>
: <math> \lim_n (a_n\cdot b_n)=A\cdot B</math>
: <math> B\neq 0 \Rightarrow \lim_n \frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B} </math>
: <math> |\lim_n a_n|=\lim_n |a_n| </math>

== Limes funkcija ==
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:252px;">
{|class="wikitable" style="width:100%; margin:0px;"
!''x''!!<math>\frac{\sin x}{x}</math>
|-
|1||0,841471...
|-
|0,1||0,998334...
|-
|0,01||0,999983...
|}
<div class="thumbcaption">
Iako funkcija (sin&nbsp;''x'')/''x'' nije definirana za vrijednost nula, kako se ''x'' približava nuli, funkcija (sin&nbsp;''x'')/''x'' poprima vrijednost sve bližu 1. Drugim riječima, limes funkcije (sin&nbsp;''x'')/''x'' kada ''x'' teži nuli jednak je&nbsp;1.
</div></div></div>
Neka je <math>\emptyset  \neq I \subseteq \mathbb{R} </math>, <math> c\in \langle a,b \rangle </math>,<math>\langle a,b \rangle \setminus \{c\}  \subseteq I </math> i <math> f: I \rightarrow \mathbb{R} </math> [[funkcija (matematika)|funkcija]]. Kažemo da ƒ ima limes <math> L\in \mathbb{R} </math> u točki ''c'' ili da ƒ konvergira prema ''L'' kada ''x'' teži prema ''c'' ako vrijedi <math> ((a_n) \subseteq \langle a,b \rangle \setminus \{c\}, \lim_n a_n =c \Rightarrow \lim_n f(a_n)=L </math> što pišemo <math> \lim_{x \rightarrow c} f(x)=L </math>. To možemo izreći na način da kažemo da čim neki niz koji je sadržan u okolini ''c'' i teži k ''c'', a nije baš ''c'' (jer mi ne znamo je li ''c'' u domeni ili ne) da tada niz funkcijskih vrijednosti teži prema ''L''.

Postoji i tzv. epsilon-delta definicija koji je ekvivalentna definiciji preko nizova. Pa neka je <math>f:I \rightarrow \mathbb{R}, I \subseteq \mathbb{R} </math>. Kažemo da ƒ ima limes <math> L\in \mathbb{R} </math> u <math>c\in I </math> ako vrijedi
<math> (\forall \epsilon > 0) (\exists \delta > 0) (x\in I, 0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon) </math>

[[Kategorija:Matematička analiza]]