Vidi kôd stranice Kugla

'''Kugla''' je skup svih točaka prostora čija je udaljenost od neke čvrste točke (središta) ''S'' manja ili jednaka [[polumjer]]u ''r''. Omeđena je [[Sfera|sferom]] polumjera ''r'', tj. skupom [[točka (geometrija)|točaka]] prostora čija je udaljenost od središta jednaka ''r''. Među svim tijelima danog [[volumen|obujma]] kugla ima najmanje [[oplošje]].

== Obujam kugle ==
[[Datoteka:Ball.agr.jpg|mini|Kugla]]
Izraz za obujam kugle izveo je još Arhimed koji je pokazao da je obujam kugle jednak 2/3 obujma kugli opisanog valjka, a sukladno kasnije formuliranom Cavalierievom pravilu. U suvremenoj matematici izraz za obujam kugle se izvodi posredstvom integralnog računa.

Postavimo kuglu polumjera r u središte x, y, z koordinatnog sustava tako da os x bude smještena vodoravno, a os y okomito. Tako postavljenu kuglu možemo podijeliti na vrlo velik broj diskova koji će stajati paralelno u odnosu na ravninu koju određuju osi y i z. Polumjer svakog diska određen je koordinatom y, gdje će y poprimati vrijednosti od y=0 do y=r i natrag do y=0. Obujam svakog diska jednak je približno umnošku površine diska i debljine diska:

:<math>\!\bigtriangleup V \approx \pi y^2 \cdot \bigtriangleup x</math>

za neki dati ''x''. Kako raste broj podjela tako

:<math> \bigtriangleup x\longrightarrow 0 </math>

i možemo provesti sve točniju sumaciju svih diskova kugle te je:

:<math>\!V \approx \sum \pi y^2 \cdot \bigtriangleup x</math>

Kako broj diskova teži u beskonačnost tako i debljina diskova teži k nuli. U tom procesu je očito na kraju debljina svakog diska beskonačno mala te možemo provesti integraciju:

:<math>\!V = \int_{x=-r}^{x=r} \pi y^2 dx.</math>

Iz presjeka kugle duž ravnine x/y slijedi da je:

:<math>\!r^2 = x^2 + y^2.</math>

te se integral može prikazati i na ovaj način:

:<math>\!V = \int_{x=-r}^{x=r} \pi (r^2 - x^2)dx.</math>

odakle redom slijedi:

:<math>\!V = \pi \left[r^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{x=-r}^{x=r} </math>

:<math>\!V = \pi \left(r^3 + r^3 - \frac{r^3}{3}- \frac{r^3}{3} \right) </math>

te je konačno obujam kugle:

:<math> \mathit{V}= \frac{4}{3}\mathit{r}^3\pi</math>

== Oplošje kugle == 
Podijelimo li kuglu na velik broj koncentričnih sferastih ljuski površine O i debljine: 

:<math> \bigtriangleup x</math> 

te pustimo li da: 

:<math> \bigtriangleup x\longrightarrow 0 </math> 

možemo provesti integraciju:

:<math>\! \int_{x=0}^{r=R} O(r) dr</math>

gdje je rezultat integracije obujam kugle, odnosno:

:<math> \int_{x=0}^{x=r} O(x) dx=\!V = \frac{4}{3}\mathit{r}^3\pi </math>.

Diferencirajući ovu jednadžbu nalazimo da je za r=R:

:<math>O(R) = \frac{4}{3}3\mathit{R}^2\pi </math>

odakle slijedi da je oplošje kugle jednako:

:<math>O=4\mathit{r}^2\pi \,\!</math>

== Jednadžba kugle polumjera ''r'' sa središtem u točki ''S(a, b, c)'' ==
[[Datoteka:kugl_isjecak.png|thumb|Kuglin isječak]]
Općenita '''jednadžba''' kugle sa središtem u točki S(a, b, c) određena je jednakosti:
:<math display="inline"> \mathit{(x-a)}^2+\mathit{(y-b)}^2+\mathit{(z-c)}^2\mathit{ \le r^2}</math>

=== Obujam kuglina isječka ===
'''Kuglin isječak''' je geometrijsko tijelo nastalo rotacijom kružnog isječka oko osi rotacije, promjera.
Obujam kuglinog isječka za polumjer kugle r je:
:<math>V=\pi\cdot h^2\cdot(r-h/3)</math>

=== Obujam kuglina odsječka ===
[[Datoteka:Kuglin_osjecak.png|thumb|Kuglin odsječak]]
'''Kuglin odsječak''' (kalota) je geometrijsko tijelo, tj. dio kugle nastao presjecanjem kugle i ravnine.
Površina kuglinog odsječka (kalote) za polumjer kugle r i visine kalote h je:
:<math>P=2\cdot\ r\cdot\pi\cdot h </math>
Obujam kuglinog odsječka, ako je kugla polumjera r i visine odsječka h :
:<math>V=\frac{\pi\cdot h^2}{3} \cdot (3r - h)</math> 



[[Kategorija:Geometrijska tijela]]